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$Fichier TeX$
\exo{Influence des hypothèses sur un caractère continu}

{\sl Dans cet exercice, on calcule la moyenne et l'écart-type de
quatres populations différentes correspondant à un même tableau
d'effectifs. On observera ainsi l'influence de la répartition des
éléments de la population à l'intérieur de chaque classe.}

On considère le tableau d'effectifs suivant~:
$$\vbox{\halign{
   \offinterlineskip
   %% preamble
      #\tv && \cc{#}& #\tv 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Classe&& $[0, 4[$&& $[4, 8[$ && $[8, 12[$&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & Effectif&& 4&& 4&& 4&
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}$$

\itemnum On suppose que, dans chaque classe, tous les éléments sont
   situés au centre de la classe. La population est donc
$$
   2,\quad 2,\quad 2,\quad 2,\quad 6,\quad 6,\quad 6,\quad 6,\quad
   10,\quad 10,\quad 10,\quad 10. 
$$
Calculer la moyenne $\bar x$ et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de
l'écart-type $\sigma$ de cette première population.

\itemnum On suppose que les éléments de chaque classe sont répartis
uniformément de la manière suivante~:
$$
   0, 5\, ;\quad 1, 5\, ;\quad 2, 5\, ;\quad 3, 5\, ;\quad 4, 5\,
   ;\quad 5, 5\, ;\quad 6, 5\, ;\quad 7, 5\, ;\quad 8, 5\, ;\quad 9,
   5\, ;\quad 10, 5\, ;\quad 11, 5. 
$$
Calculer la moyenne $\bar x'$ et une valeur approchée à $10^{-2}$ près de
l'écart-type $\sigma'$ de cette deuxième population.

\itemnum On suppose que les éléments de chaque classe sont répartis
de la manière suivante~:
$$
   1,\quad 1,\quad 3,\quad 3,\quad 5,\quad 5,\quad 7,\quad 7,\quad
   9,\quad 9,\quad 11,\quad 11. 
$$
\itemitemalph Calculer la moyenne $\bar x''$ et une valeur approchée à
   $10^{-2}$ près de l'écart-type $\sigma''$ de cette troisième
   population. 

\itemitemalph Comparer $\bar x$, $\bar x'$, $\bar x''$ d'une part, et
   $\sigma$, $\sigma'$, $\sigma''$ d'autre part.

\itemnum On suppose que, dans chaque classe, tous les éléments sont
situés d'un même côté, et le plus loin possible du centre de la
classe, c'est à dire que la population est~:
$$
   0,\quad 0,\quad 0,\quad 0,\quad 4,\quad 4,\quad 4,\quad 4,\quad
   8,\quad 8,\quad 8,\quad 8. 
$$
Calculer la moyenne $\bar x'''$ et une valeur approchée
à $10^{-2}$ près de l'écart-type $\sigma'''$ de cette quatrième
population. Pouvait-on prévoir les valeurs de $\bar x'''$ et $\sigma'''$~?

\finexo

\corrige{}

\itemnum On trouve~: \qquad
$
   \mresultat{\bar x = 6}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \mresultat{\sigma \simeq 3.26}
$

\itemnum On trouve~: \qquad
$
   \mresultat{\bar x' = 6}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \mresultat{\sigma' \simeq 3.45}
$

\itemalphnum On trouve~: \qquad
$
   \mresultat{\bar x'' = 6}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \mresultat{\sigma'' \simeq 3.41}
$

\itemalph On remarque bien sûr l'égalite des moyennes $\bar x$, $\bar
   x'$ et $\bar x''$. Quand aux dipersions des données, on voit que le
   rangement d'après l'écart-type donne dans l'ordre~: la première,
   puis la troisième, et enfin la seconde.

\itemnum On trouve~: \qquad
$
   \mresultat{\bar x''' = 4}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \mresultat{\sigma''' \simeq 3.26}
$. 
\item{} On pouvait facilement trouver $\bar x'''$ et $\sigma'''$ si l'on
   remarquait que la quatrième série correspondant pré\-ci\-sé\-ment à la
   première, {\sl via\/} une soustraction de $2$ à chaque
   élément. La moyenne a donc baissé de deux points (on a changé la
   {\sl position\/} de la série), mais l'écart-type est le même (on
   n'a rien chargé à la {\sl dispersion\/} des données.)

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3824106 - 3 décembre 2008)