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$Fichier TeX$
\exo {Des paquets de farine, {\sl bts MAI, 1993}}

Une machine est chargée de conditionner des paquets de farine. La
masse $M$ d'un paquet est une variable aléatoire qui suit une loi
normale d'écart-type constant $\sigma = 30$, et dont la moyenne $m$
peut-être modifiée. Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à
995~grammes.

\itemnum On suppose que la moyenne $m$ est égale à $1\, 000$.

\itemitemalph Quelle est la probabilité pour qu'un paquet soit refusé~?

\itemitemalph On suppose que la probabilité pour qu'un paquet soit
refusé est $p = 0, 07$. On dispose de 100~paquets. Soit $X$ la
variable aléatoire dénombrant le nombre de paquets à rejeter.

\itemitem {} Quelle est la loi de $X$~? Calculer $p (X=3)$.

\itemitem {} On assimile la loi de $X$ à une loi de Poisson. Indiquer
le paramètre de cette loi de Poisson et déterminer la valeur indiquée
pour $p (X\leq 5)$.

\itemnum Afin de diminiuer le nombre de paquets refusés, on décide de
modifier le réglage de la machine.

\itemitemalph Quelle doit être la valeur de $m$ pour que la
probabilité d'accepter un paquet soit égale à $0, 99$~?

\itemitemalph La machine est réglée de telle sorte que $m = 1\,
025$. Afin de vérifier ce réglage, on prélève un échantillon de
20~paquets et on déterminer la masse moyenne $\overline x$.

\itemitem {} Déterminer l'intervalle centré en $m$ contenant
$\overline x$ avec une probabilité de $0, 95$.

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum La variable aléatoire $M$ suit la loi normale ${\cal N}
(1\, 000, 30)$, donc la variable aléatoire $T = (M - 1\, 000) / 30$
suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. On aura donc en
particulier
$$\eqalign {
   p ({\rm refus}) = p (M < 995) 
      &= p \left( {{M - 1\, 000 \over 30} < {995 - 1\, 000 \over
30}}\right)
\cr
   &= p \left( T < - {1 \over 6} \right) = \Pi \left( - {1 \over 6}
   \right)
\cr
   &= 1 - \Pi \left( {1 \over 6} \right) \quad \hbox {car la loi
normale centrée réduite est paire}
\cr
   &\approx 1 - 0, 567\, 5 \approx 0, 432
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p ({\rm refus}) \approx 0, 432}
\cr
}$$

\itemalph $\bullet $ On effectue 100 fois de suite l'expérience qui consiste à
prendre un paquet et à observer sa masse. Les expériences sont
indépendantes les unes des autres, et les seules issues possibles sont
\og {\sl refusé}\fg \ (avec une probabilité de $0, 07$) ou non. La
variable $X$ suit donc la \tresultat {loi binômiale ${\cal B} (100 \, ; 0, 07)$}.

\item {} Dans ce cas, on aura 
$$
   p (X = 3) = C_{100}^3 (0, 07)^3 (0, 93)^{97} = {100 \times 99
   \times 98 \over 3!} (0, 07)^3 (0, 93)^{97}
       \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (X=3) \approx 0, 049}
$$

\item {} $\bullet $ On assimile la loi de $X$ à une loi de Poisson. On
   conserve l'espérance mathématique de la loi binômiale $E (X) = 100
   \times 0, 07 = 7$. Le paramètre de cette loi est donc \mresultat
   {\lambda = 7}. Dans ce cas, il vient
$$\eqalign{
   p (X \leq 5) &= p (X=0) + p (X=1) + p (X=2) + p (X=3) + p (X=4) + p
   (X=5) 
\cr
   &= 0, 001 + 0, 006 + 0, 022 + 0, 052 + 0, 091 + 0, 218 
\cr
}$$
soit finalement \dresultat {p (X \leq 5) \approx 0, 3}

\itemalphnum On veut avoir $p ({\rm refus}) = 0, 01$. En reprenant les
calculs du {\bf 1.}~{\sl a\/}), on voit que l'on a 
$$
   p ({\rm refus}) = p (M < 995) 
      = p \left( {M - m \over 30} < {995 - m \over 30} \right)
      = p \left( T < {995 - m \over 30} \right) 
      = \Pi \left( {995 - m \over 30} \right) 
$$
De plus, on sait que l'on doit avoir $(995 - m) / 30$
négatif puisque $\Pi (t) \geq 0, 5$ pour tout réel $t$ positif ou
nul. D'où
$$
   p ({\rm refus}) = 1 -  \Pi \left( {m - 995 \over 30} \right) 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \Pi \left( {m - 995 \over 30} \right) = 0, 99
$$
La lecture du formulaire nous donne alors $(m - 995) / 30 = 2, 33$
(puisque $\Pi (2, 33) = 0, 9901$), soit \mresultat {m = 1\, 064, 9}.

\itemalph Si la variable aléatoire $M$ suit une loi normale de moyenne
$m = 1\, 025$ et d'écart-type $\sigma = 30$, alors la variable
aléatoire $\overline X$, égale à la moyenne des masses d'un échantillon
de 20~paquets, suit la loi normale ${\cal N} (1\, 025, 30 / \sqrt
{20})$. La variable $\displaystyle \overline T = {\overline X - m
\over 30 / \sqrt {20}} = {\overline X - 1\,025 \over 30 / \sqrt {20}}$
suit alors la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. 

\item {} On veut trouver le nombre $a$ tel que $p (m-a \leq \overline
X \leq m+a) = 0, 95$. Or
$$\displaylines {
\eqalign {
   p (m-a \leq \overline X \leq m+a) 
   &= p \left( {m - a - m \over 30 / \sqrt {20}} \leq
   {\overline X - m \over 30 / \sqrt {20}} \leq
   {m + a - m \over 30 / \sqrt {20}} \right)
\cr
   &= p \left( {- a \over 30 / \sqrt {20}} \leq
   \overline T \leq
   {a \over 30 / \sqrt {20}} \right)
   = 2 \Pi \left( {a \over 30 / \sqrt {20}} \right) - 1
\cr
   &= 0, 95
\cr
}\cr
{\rm d'où} \qquad 
   \Pi \left( {a \over 30 / \sqrt {20}} \right) = {1 \over 2} (1+0,95)
= 0, 975
}$$
Dans le formulaire, on lit que $\Pi (t) = 0, 975$ pour $t = 1,
96$. D'où
$$
   a = 1, 96 \times {30 \over \sqrt {20}}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {a \approx 13, 15}
$$
L'intervalle cherché est donc \tresultat {l'intervalle $[1\, 011, 85 \, ; 1\, 038, 15]$}.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.1s - 3824030 - 3 décembre 2008)