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$Fichier TeX$
\exo {Des glaces~! {\rm bts mai}, {\sl 1995}}

\let \partie \centerpartie

Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour
remplir et emballer des cônes de glace.

\partie {A}

Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par
$X$ la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse
(exprimée en grammes) de glace qu'il contient.
On suppose que $X$ suit la loi normale de paramètres $m = 100$ et
$\sigma $.

\itemnum Dans cette question, $\sigma = 2\sqrt 2$.

\item {} On choisit au hasard un cône rempli de glace. Calculer, à
$10^{-2}$~près, la probabilité que la masse qu'il contient soit
comprise entre $95$~g et $105$~g.

\itemnum Un cône est considéré comme \og bon \fg \ lorsque la masse de
glace qu'il contient appartient à l'intervalle $[95\, ;
105]$. Déterminer la valeur du paramètre $\sigma $ telle que la
probabilité de l'événement \og {\sl le cône est bon}\fg \ soit égale à
$0, 95$ (on donnera le résultat avec deux décimales).

\partie {B}

Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en
lots de $2\, 000$ pour la vente en gros.

On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut
quelconque avant son con\-di\-tion\-ne\-ment en gros est égale à $0, 000 \,
5$.

On nomme $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $2\, 000$
cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes
défectueux présents dans le lot.

\itemnum Quelle est la loi suivie par $Z$~?

\itemnum On admet que la loi de $Z$ peut être approchée par une loi de
Poisson.

\itemitemalph Déterminer le paramètre de cette loi.

\itemitemalph Si un client reçoit un lot contenant au moins 5~cônes
défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de ce lot. 

\itemitem{} Calculer la probabilité qu'un lot soit inchangé.

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
%
La variable $X$ suit la loi normale ${\cal N} (100, \sigma )$, donc la
variable $T$ définie par $\displaystyle T = {X - 100 \over \sigma }$ suit la loi normale
centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$.

\num \ On a $\sigma = 2\sqrt 2$. Il vient
$$\eqalign {
   p (95 \leq X \leq 105) &= p \left( {95 -100 \over \sigma } \leq {X
      -100 \over \sigma } \leq {105 - 100 \over \sigma }\right)
\cr
   &= p \left( - {5 \over \sigma } \leq T \leq {5 \over \sigma
}\right)
\cr
   &= 2 \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) - 1
      \qquad \hbox {vu la parité de la loi ${\cal N} (0, 1)$}
\cr
   &\approx 2 \Pi (1, 77) - 1 \approx 0, 923\, 2
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (95 \leq X \leq 105) =  0, 92}
\cr
}$$

\num \ On a vu précedemment que 
$$
   p (95 \leq X \leq 105) = 2 \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) - 1
$$
Pour avoir cette probabilité égale à $0, 95$, on doit donc avoir
$$
   2 \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) = 1, 95
      \qquad {\rm soit } \qquad
   \Pi \left( {5 \over \sigma } \right) = 0, 975
$$
Dans le formulaire qui donne $\Pi (t)$ en fonction de $t$ pour la loi
normale ${\cal N} (0, 1)$, on voit que la valeur de $t$ qui correspond
le mieux à $\Pi (t) = 0, 975$ est la valeur \dresultat {t = 1, 96}. On
doit donc avoir
$$
   {5 \over \sigma }= 1, 96
      \qquad {\rm soit } \qquad
   \dresultat {\sigma = {5 \over 1, 96} \approx 2, 55}
$$

\partie {B}
%
\num \ On suppose que la production est suffisamment importante pour
      que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des
      autres. La seule issue qui nous intéresse pour chaque tirage est~:
      cône défectueux (probabilité $0, 000\, 5$) ou non. Nous sommes
      dans un schéma de Bernouilli, et la variable $Z$, qui compte les
      défectueux, suit $$\tresultat {la loi binômiale ${\cal B} (2\, 000 \; ; 0,
      000\, 5)$},$$ d'espérance mathématique $E (X) = 2.10^3 \times
      5.10^{-4} = 1$.

\alphnum \ En approximant la loi précédente par une loi de Poisson, on
      garde la même espérance mathématique, d'où la valeur du
      paramètre \dresultat {\lambda = 1}.

\alph \ Un lot reste inchangé s'il y a strictement moins de 5~cônes
      défectueux. Or
$$\eqalign {
   P (Z < 5) &= \sum _{i = 0}^{i = 4} p (Z = i) 
\cr
   &= p (Z = 0) + p (Z = 1) + p (Z = 2) + p (Z = 3) + p (Z = 4) 
\cr
   &= 0, 368 + 0, 368 + 0, 184 + 0, 061 + 0, 015
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (Z < 5 ) = 0, 996}
\cr
}$$
où les valeurs de $p (Z = i)$ ont été lues dans le formulaire.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 février 2004 (0.07s - 3824061 - 3 décembre 2008)