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\exo {Des chaudières... (conditionnelles, loi normale, intervalle de confiance)}
Une entreprise fabrique des chaudières de deux types~:
\itemitem {--} des chaudières dites \og à cheminée\fg ,
\itemitem {--} des chaudières dites \og à ventouse\fg .
\centerline {\bf Les quatre parties de cet exercice peuvent être
traitées de façon indépendante.}
\let \partie \centerpartie
\partie {A - Ajustement affine}
Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est
donné par le tableau suivant~:
$$\vbox{\halign{\eightpoint \rm
\offinterlineskip
%% preamble
#\tv && \cc{#}& #\tv
\cr
\noalign{\hrule}
& Rang de l'année $x_i$&& $0$&& $1$&& $2$&& $3$&& $4$&& $5$&
\cr
\noalign{\hrule}
& \tvi height 15pt depth 10pt %width 10pt
$\matrix {
\hbox {Nombre de chaudières fabriquées~: $y_i$}\cr
\hbox {(unité~: le millier)}} $ &&
$15, 35$&& $15, 81$&& $16, 44$&& $16, 75$&& $17, 19$&& $17, 30$&
\cr
\noalign{\hrule}
}}$$
\itemnum \` A l'aide d'une calculatrice, déterminer~:
\itemitemalph le coefficient de corrélation linéaire de la série
statistique double de variables $x$ et $y$~; arrondir à $10^{-2}$~;
\itemitemalph déterminer une équation de la droite de régression de
$y$ en $x$, sous la forme $y = ax + b$, où $a$ sera arrondi à
$10^{-3}$ et $b$ sera arrondi à l'unité.
\itemnum En supposant que la tendance observée se poursuive pendant
deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées
l'année de rang~$7$.
\partie {B - Probabilités conditionnelles}
L'entreprse a fabriqué en un mois $900$ chaudières à cheminées et
$600$~chaudières à ventouse. Dans ce lot, $1\% $ des chaudières à
cheminées sont défectueuses et $5\% $ des chaudières à ventouse sont
défectueuses.
On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce
mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d'être prélevées.
On considère les événements suivants~:
\item {} $A$~: \og \sl La chaudière est à cheminée\fg~;
\item {} $B$~: \og \sl La chaudière est à ventouse\fg~;
\item {} $D$~: \og \sl La chaudière présente un défaut \fg.
\itemnum Déterminer $p (A)$, $p (B)$, $p (D|A)$ et $p (B|D)$.
\itemnum Calculer $p (D\cap A)$ et $p (D\cap B)$.
\itemnum En remarquant que $D = (D\cap A) \cup (D\cap B)$ et que les
événements $D\cap A$ et $D\cap B$ sont incompatibles, calculer $p (D)$
et $p (\overline D)$.
\partie {C - Loi normale}
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée
prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de
fonctionnement en années.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $15$ et d'écart-type
$3$.
Une chaudière est dite \og amortie\fg \ si sa durée de fonctionnement
est supérieure ou égale à $10$~ans.
Calculer la probabilité qu'une chaudière prélevée au hasard dans la
production soit \og amortie\fg ; arrondir à $10^{-3}$.
\partie {D - Intervalle de confiance}
On considère un échantillon de $100$~chaudières prélevées au hasard
dans un stock important. Ce stock est assez important pour qu'on
puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
On constate que $94$ chaudières sont sans aucun défaut.
\itemnum Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue $p$
des chaudières de ce stock qui sont sans aucun défaut.
\itemnum Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de
$100$ chaudières prélevées au hasard et avec remise dans ce stock,
associe la fréquence des chaudières de cet échantillon qui sont sans
aucun défaut.
\item {} On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et
d'écart-type
$\displaystyle {
\sqrt {p (1-p)\over 100}
}$,
où $p$ est la fréquence inconnue des chaudières du stock qui sont sans
aucun défaut.
\item {} Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence $p$
avec le coefficient de confiance $95\% $. Arrondir les bornes à
$10^{-2}$.
\itemnum On considère l'affirmation suivante~: \og le fréquence $p$
est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la
question {\bf 2.}\fg .
\item {} Est-elle vraie~? (On ne demande pas de justification.)
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 24 mai 2006 (0.07s - 3777980 - 20 novembre 2008)
