Source de cour

$Fichier TeX$
\paragraphe {Formules de Moivre et d'Euler}

\item {$\bullet $} Soit $z = e^{i\theta }$. Le nombre $z^n$ (pour $n
\in \nset $) a pour module $1$ et pour argument $n\theta $. On en déduit la
{\sl formule de Moivre\/ }
$$
   \dresultat {(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos (n\theta ) + i
      \sin (n \theta )}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {(e^{i\theta })^n = e^{in\theta }} 
$$

\item {$\bullet $} De plus, des relations
$$
   e^{i\theta } = \cos \theta + i \sin \theta
      \qquad {\rm et} \qquad
   e^{-i\theta } = \cos \theta - i \sin  \theta
$$
on déduit les {\sl formules d'Euler}
$$\dresultat {
   \cos \theta = {1\over 2} (e^{i\theta } + e^{-i\theta })
      \qquad {\rm et} \qquad
   \sin \theta = {1\over 2i} (e^{i\theta } - e^{-i\theta })
}$$

Ces formules permettent la {\sl linéarisation\/} des formules
trigonométriques (c'est à dire la transformation d'un produit de
fonctions trigo en somme de fonctions trigo). Par exemple, on a
$$\eqalign {
   \cos ^3 \theta &= {1\over 2^3} (e^{i\theta } + e^{-i\theta })^3
\cr
   &= {1 \over 8} \left( e^{3i\theta } + 3 e^{2i\theta }e^{-i\theta }
   + 3 e^{i\theta }e^{-2i\theta } + e^{-3i\theta } \right)
\cr
   &= {1 \over 8} \left( e^{3i\theta } + e^{-3i\theta } + 3 \left(
   e^{i\theta }+ e^{-i\theta } \right) \right)
\cr
   &= {1 \over 8} \left( 2\cos 3\theta  + 3 \times 2\cos \theta
   \right)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {\cos ^3 \theta = {1\over 4} \cos 3\theta + {3\over 4}
   \cos \theta }
\cr
}$$

La linéarisation est souvent employée pour déterminer une primitive
d'un produit de fonctions tri\-go\-no\-mé\-tri\-ques.
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.09s - 3834061 - 5 décembre 2008)