Source de cplx

$Fichier TeX$
%% format               (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex)
%% fichiers de macro    basejpv.tex
%% niveau               bts mai
%% genre                nombres complexes
%% sujet                calcul sous forme trigo
%% date                 01-10-97
%% auteur               jp vignault             

\exo {Forme exponentielle d'un nombre complexe}

On considère les nombres complexes
$$
   a = -2\sqrt2 + 2i\sqrt2,
      \qquad
   b = -2 -2i\sqrt3, 
      \qquad
   c = 2\sqrt3 - 2i.
$$
On appelle $A$, $B$ et $C$ leurs images respectives dans le plan
muni d'un repère orthonormal $(O, \vec u, \vec v\,)$.

\itemnum Calculer les modules de $a$, $b$ et $c$. En déduire une
équation du cercle $\cal E$ qui passe par $A$, $B$ et $C$.

\itemnum Donner un argument de chacun des nombres $a$, $b$ et
$c$.

\itemnum Déterminer la forme exponentielle, puis la forme
algébrique, du nombre complexe 
$$
   Z = {a^3 \times b^3 \over c^6}.
$$

\item{} Montrer que $Z^4 = -1$.

\itemnum On appelle $N$ le point image de $Z$.
Représenter $A$, $B$, $C$, $N$ et $\cal E$ dans le repère donné.
On prendra 1~cm (ou un grand carreau) pour unité.

\finexo

\corrige

\itemnum On trouve \tresultat{$|a| = |b| = |c| = 4$}. On en déduit 
l'égalité de distances $OA = OB = OC = 4$. Les points $A$,
$B$, et $C$ sont donc tous sur le même cercle $\cal E$ de centre
$O$ et de rayon~4, cercle dont une équation est 
\dresultat {x^2 + y^2 = 16}. 

\itemnum Pour les calculs d'argument, on trouve
$$\displaylines{
   \cases{
      \cos \theta_a = -\sqrt2/2
   \cr
      \sin  \theta_a = \sqrt2/2
   \cr} \Rightarrow \tresultat{$\theta_a = {3\pi\over4} + 2k\pi$},
      \qquad
   \cases{
      \cos \theta_b = -1/2
   \cr
      \sin  \theta_b = -\sqrt3/2
   \cr} \Rightarrow \tresultat{$\theta_b = -{2\pi\over3} + 2k\pi$}
\cr
   \cases{
      \cos \theta_c = \sqrt3/2
   \cr
      \sin  \theta_c = -1/2
   \cr} \Rightarrow \tresultat{$\theta_c = -{\pi\over6} + 2k\pi$}
\cr
}$$
Finalement,
$$
   \dresultat {a = \left[ 4, {3\pi\over4} \right] = 4 e^{3i\pi /4}}, 
         \qquad
   \dresultat {
      b = \left[ 4, -{2i\pi\over3} \right] = 4 e^{-{2i\pi /3}}}, 
         \qquad
   \dresultat {
      c = \left[ 4, -{\pi\over6} \right] = 4 e^{-{i\pi /6}}}.
$$

\itemnum En calculant maintenant $Z$ avec les formules de calcul sous
         forme exponentielle, il vient 
$$
   Z = {a^3 \times b^3 \over c^6} =
   {\left[ 4^3, {9\pi\over4} \right] \times \left[ 4^3, -2\pi\right]   
      \over \left[ 4^6, -\pi\right]}
   = \left[1, {9\pi\over4} + \pi \right] = 
   \dresultat {\left[ 1, {5\pi\over4}\right] = Z} 
$$
Finalement, $Z = \cos \left( 5\pi\over4\right) + i \sin \left(
5\pi\over4\right)$, soit \dresultat {Z = -{\sqrt2\over2} - i{\sqrt2\over2}}  

\item{} Et on a bien $Z^4 = \left[ 1, 5\pi\right] = \left[ 1,
\pi\right] = e^{i\pi }$. Autrement dit, \tresultat{$Z^4 = -1$} 

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/algebre/complex/}

\itemnum 
$$
   \superboxepsillustrate {cplx_003.ps}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3833971 - 5 décembre 2008)