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$Fichier TeX$
\exo{posé au bac ({\sl STI GM, 1996})}

Soient les nombres complexes 
$$
   z_1 = 2 + 2i,
      \qquad
   z_2 = e^{5i\pi /6},
      \qquad {\rm et} \qquad
   z_3 = 1 - i\sqrt3.
$$

\itemnum Déterminer le module et un argument de $z_1$, $z_2$ et $z_3$.

\itemnum Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec u,
      \vec v)$ d'unité graphique 2~cm (ou 2~grands carreaux).

\itemitemalph Placer le point $A$ d'affixe $z_1$.

\itemitemalph En utilisant les résultats de la question {\bf 1.}, que
l'on fera apparaître sur la figure, placer les points $B$ et $C$
d'affixes respectives $z_2$ et $z_3$.

\itemitemalphnum Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que $z_2
= a + bi$.

\itemitemalph Montrer que 
$\displaystyle {
   z_1 \times z_2 = - \big( 1 + \sqrt3 \big) + i \big( 1 - \sqrt3 \big)
}$.

\itemitemalph Déterminer la forme exponentielle de $z_1 \times z_2$.

\itemitemalph Utiliser les résultats précédents pour donner les
   valeurs exactes de
$$
   \cos \Big( {13 \pi \over 12} \Big)
      \qquad {\rm et} \qquad
   \sin \Big( {13 \pi \over 12} \Big).
$$

\finexo

\corrige

\itemnum On a $|z_1| = \sqrt {4+4} = 2\sqrt 2$ d'où $\cos \theta _1 =
      \sqrt 2/2$ et $\sin \theta _1 = \sqrt 2/2$. On en déduit $\theta
      _1 = \pi /4$. Finalement, on a
$$\dresultat {
   z_1 = \left[ 2\sqrt 2, {\pi \over 4}\right]
      = 2\sqrt 2 e^{i\pi /4}
}$$

\item {} On lit immédiatement $|z_2| = 1$ et $\theta _2 = 5\pi /6$. Soit
$$\dresultat {
   z_2 = \left[ 1, {5\pi \over 6}\right]
      = e^{5i\pi /6}
}$$


\item {} Et pour $z_3$ on trouve $|z_3| = \sqrt {1 + 4} = 2$, $\cos
\theta _3 = 1/2$ et $\sin \theta _3 = -\sqrt 3 / 2$. On en déduit
$$\dresultat {
   z_3 = \left[ 2, - {\pi \over 3}\right]
      = 2e^{-i\pi /3}
}$$

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/algebre/complex/}

\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {exo_009.ps}
$$

\itemalphnum On sait que $r e^{i\theta } = r \big( \cos \theta + i \sin
\theta \big) $. On a donc facilement
$$\dresultat {
   z_2 = - {\sqrt 3\over 2} + {1\over 2} i
}$$

\itemalph En calculant ce produit sous forme algébrique, on trouve
$
   z_1 \times z_2 = (2 + 2i) \times {1\over 2} (-\sqrt 3 + i)
      = (1 + i) \times (-\sqrt 3 + i)
$,
soit \dresultat {z_1 \times z_2 = - \big( 1 + \sqrt3 \big) + i \big( 1 - \sqrt3 \big) }.

\itemalph Et en reprenant ce calcul, mais sous forme trigonométrique,
   on trouve
$$\eqalign {
   z_1 \times z_2 = \left[ 2\sqrt 2, {\pi \over 4}\right] \times \left[ 1,
   {5\pi \over 6}\right]
      &= \left[ 1 \times 2\sqrt 2, {\pi \over 4} + {5\pi \over 6}\right]
\cr
      \qquad &{\rm soit} \qquad
   \dresultat {
      z_1 \times z_2  = \left[ 2\sqrt 2, {13\pi \over 12}\right]
         = = 2\sqrt 2 e^{13i\pi \over 12}
   }
}$$

\itemalph En identifiant ces deux derniers résultats, il vient
$$
   2\sqrt 2 \times \left( \cos {13\pi \over 12} + i \sin {13\pi \over
   12}\right) = - \big( 1 + \sqrt3 \big) + i \big( 1 - \sqrt3 \big)  
$$
d'où, en identifiant maintenant les parties réelles et imaginaires,
$$
   \dresultat {\cos {13\pi \over 12}= {- 1 - \sqrt 3\over 2\sqrt 2
   }}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {\sin {13\pi \over 12}= {1 - \sqrt 3\over 2\sqrt 2
   }}
$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3834007 - 5 décembre 2008)