Source de geom_003.tex
Retour    vers le bas
Fichier TeX
Image JPEG
\exo {\sl ex 81 p 44, Dimathème Term Sti/Stl, éditions Didier 1997}

\finexo 

\corrige 

\itemnum On a 
$$
   z_1 = \sqrt3 + i, 
      \qquad \qquad
   z_2 = -\sqrt3 + 3i,
      \qquad {\rm et} \qquad
   z_3 = {4 \sqrt3 z_2 \over 9z_1}
$$

\itemalph On trouve tout d'abord \mresultat{|z_1| = 2} et
      \mresultat{|z_2| = 2\sqrt3}. D'où
$$
   \cases{
      \cos \theta_1 = \sqrt3 / 2
   \cr
      \sin \theta_1 = 1/2
   \cr}
      \quad \Longrightarrow \quad
   \dresultat{\theta_1 = \pi/6}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \cases{
      \cos \theta_2 = -1/2
   \cr
      \sin \theta_2 = \sqrt3/2
   \cr}
      \quad \Longrightarrow \quad
   \dresultat{\theta_2 = 2\pi/3}
$$

\itemalph En utilisant les formes trigonométriques, on obtient alors
      pour $z_3$
$$
   z_3 = {[4\sqrt3, 0] \times [2\sqrt3, 2\pi/3] \over [9, 0] \times
      [2, \pi/6]} 
      = {[24, 2\pi/3] \over [18, \pi/6]}
      = \left[ {4 \over3}, {2\pi \over3} - {\pi \over6} \right]
      = \left[ {4 \over3}, {\pi \over 2} \right]
$$
d'où \dresultat{|z_3| = {4 \over3}} et \dresultat{\theta_3 = {\pi
\over 2}}. La forme algébrique de $z_3$ est donc $z_3 = 4i/3$.

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/algebre/complex/}

\epsfxsize = 80mm

\itemalphnum Visiblement, le dessin doit se faire avec des valeurs approchées.
$$
   \superboxepsillustrate {geom_003.ps}
$$

\itemalph Calculons le produit scalaire de $\overrightarrow {OA}$ par
$\overrightarrow {OB}$. On a 
$$
   \overrightarrow{OA} = {\sqrt3 \choose 1},
      \qquad
   \overrightarrow{OB} = {-\sqrt3 \choose 3},
      \qquad {\rm donc} \qquad
   \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \sqrt3 \times
      (-\sqrt3) + 1\times 3 = 0.
$$
Les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont donc
orthogonaux et \tresultat{le triangle $OAB$ est rectangle en $O$}

\item {} {\bf autre méthode~:}  On
connaît déjà $OA = |z_1| = 2$ et $OB = |z_2| = 2\sqrt 3$. Ne reste
plus qu'à calculer $AB = |z_2 - z_1| = |-2\sqrt 3 + 2i| = 4$, pour
pouvoir appliquer Pythagore et conclure.

\itemalph Le milieu du segment $[AB]$ est le point $M$ d'affixe 
$$
   z_M = {1\over2} (z_1 + z_2) = 
   \dresultat {2i = z_M}
$$

\itemalph On connaît les affixes des vecteurs $\overrightarrow {OM}$
   et $\overrightarrow {OG}$~:
$$
   z_{\overrightarrow {\scriptstyle OM}} = 2i
      \qquad {\rm et} \qquad
   z_{\overrightarrow {\scriptstyle OG}} = {4\over 3}i.
$$
On vérifie alors facilement que 
$$
   z_{\overrightarrow {\scriptstyle OG}} = {2\over 3} z_{\overrightarrow {\scriptstyle OM}}
      \qquad \hbox {ce qui prouve que} \qquad
   \overrightarrow {OG} = {2\over 3} \overrightarrow {OM}
$$
Comme $M$ est le milieu de $[AB]$, on a donc bien \tresultat {$G$ 
      centre de gravité de $OAB$} (car situé aux deux tiers de la médiane.)

\fincorrige

 

Validation CSS Validation XHTML — Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3833768 - 5 décembre 2008) vers le haut