Source de trigo_001.tex
\exo {Du calcul\dots }
On considère le nombre complexe
$$
z = {\sqrt3 + i \over \sqrt3 - i}.
$$
\itemnum Calculer deux nombres réels $x$ et $y$ tels que~:\qquad
$z = x+iy$.
\itemnum Déterminer la forme exponentielle de $z$.
\itemnum Calculer $z^3$ sous forme exponentielle (ou trigonométrique),
puis sous forme algébrique.
\finexo
\corrige
\itemnum On a
$$
z = {\sqrt3 + i \over \sqrt3 - i}
= {(\sqrt3 + i)(\sqrt3 + i) \over (\sqrt3 - i) (\sqrt3 + i)}
= {2 + 2i\sqrt3 \over4}.
$$
D'où les nombres $x$ et $y$ cherchés~:
$$
\dresultat{x = {1\over2}}
\qquad {\rm et} \qquad
\dresultat{y = {\sqrt3 \over2}}
$$
\itemnum On a $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, soit \mresultat{|z| = 1}. Donc $\cos \theta = 1/2$ et $\sin \theta = \sqrt3 / 2$. On en déduit qu'un argument de $z$ est \mresultat{\theta = \pi/3}.
\itemnum En utilisant la forme trigonométrique de $z$, il vient
$$
z^3 = \left[ 1, {\pi \over3}\right]^3
= [1^3, 3\times {\pi \over3}]
\qquad \hbox {soit, sous forme exponentielle} \qquad
z^3 = \left( e^{i\pi \over3}\right)^3 = e^{i\pi }
$$
On a donc \dresultat{z^3 = [1, \pi] = e^{i\pi} = -1}.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 6 octobre 2005 (0.07s - 3834027 - 5 décembre 2008)
