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Fichier TeX 
\exo {Test d'une campagne d'affichage en publicité {\rm ({\sl Bac sti
gm, national, juin 1999})}}

Une agence de publicité veut tester l'efficacité d'une campagne
d'affichage d'un nouveau produit $A$ et pour cela réalise une étude
auprès de $1\, 000$ personnes. Les résultats sont les suivants~:

\itemitem {--} $650$ personnes ont vu une affiche

\itemitem {--} $300$ personnes ont acheté le produit $A$

\itemitem {--} $100$ personnes ont acheté le produit sans avoir vu l'affiche

\itemnum Recopier et compléter le tableau suivant~:
$$
\vcenter {\offinterlineskip {\halign {
   % preamble
      &\cc {#} & #\tv
   \cr
      Nb de personnes qui&& Ont acheté $A$&& N'ont pas acheté $A$&& Total
   \cr
   \noalign {\hrule }
      Ont vu une affiche&& && && 
   \cr
   \noalign {\hrule }
      N'ont pas vu d'affiche&& && && 
   \cr
   \noalign {\hrule }
      Total&& && && $1\, 000$
   \cr
}}}
$$

\itemnum Une personne est choisie au hasard parmi les $1\, 000$
      personnes. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être
      choisies.

\itemitemalph Déterminer la probabilité de chacun des événements
      suivants~:

\itemitem {} $E_1$~: \og {\sl la personne choisie a acheté le produit $A$}\fg

\itemitem {} $E_2$~: \og {\sl la personne choisie a vu une affiche}\fg

\itemitemalph Définir par une phrase l'événement $E_1 \cap
E_2$. Déterminer la probabilité de l'événement $E_1 \cap E_2$.

\itemitemalph Déterminer la probabilité de l'événement $E_1 \cup E_2$.

\finexo

\corrige {}

\itemnum On obtient facilement le tableau suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip {\halign {
   % preamble
      &\cc {#} & #\tv
   \cr
      Nb de personnes qui&& Ont acheté $A$&& N'ont pas acheté $A$&& Total
   \cr
   \noalign {\hrule }
      Ont vu une affiche&& \bf 200&& {\bf 450}&& $650$
   \cr
   \noalign {\hrule }
      N'ont pas vu d'affiche&& $100$&& {\bf 250}&& {\bf 350}
   \cr
   \noalign {\hrule }
      Total&& $300$&& {\bf 700}&& $1\, 000$
   \cr
}}}
}$$

\itemalphnum Les événements étant tous équiprobables, on a 
$$
\dresultat
   {p (E_1) = {300\over 1000} = 0, 3} 
      \qquad {\rm et} \qquad 
   \dresultat {p (E_2) = {650\over 1000} = 0, 65}
$$

\itemalph L'événement $E_1 \cap E_2$ peut être défini par la phrase
$$
   \tresultat {\og {\sl La personne choisie a vu une affiche ET a
   acheté le produit $A$}\fg}.
$$
Sa probabilité est \dresultat {p (E_1 \cap E_2) = {200\over 1000} = 0,
2}

\itemalph L'événement $E_1 \cup E_2$ peut être défini par la phrase
$$
   \tresultat {\og {\sl La personne choisie a vu une affiche OU a
   acheté le produit $A$}\fg}.
$$
ou encore par la phrase
$$
   \tresultat {\og {\sl La personne choisie n'est pas de celles qui
   n'on ni vu une affiche ni acheté le produit $A$}\fg}.
$$
Sa probabilité est \dresultat {p (E_1 \cup E_2) = 1 - {250\over 1000} = 0,
75}

\item {} Pour vérification, on a bien
$$
   p (E_1 \cup E_2) = p (E_1) + p (E_2) - p (E_1 \cap E_2)
      = 0, 3 + 0, 65 - 0, 2
$$

\fincorrige

 

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