Source de equ1_003.tex
\exo{Désintégration d'un corps radioactif}
Un corps est dit {\sl radioactif\/} lorsqu'il se désintègre
spontanément en transformant une partie de ses noyaux en rayonnement.
Si $t$ désigne le temps exprimé en jours, et $N(t)$ le nombre
de noyaux radioactifs restant à l'instant $t$, on montre en physique que la
fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $t\mapsto N(t)$ est solution de
l'équation différentielle
$$
{dN \over dt} = -\lambda N
\leqno
(E)
$$
où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif appelé
{\sl constante radioactive\/} du corps.
\smallskip
\itemitemalphnum Résoudre l'équation différentielle $(E)$.
\itemitemalph Soit $N_0$ le nombres d'atomes radioactifs à l'instant
$t=0$. Déterminer l'expression de $N(t)$.
\itemitemalph \'Etudier les variations et les limites de la fonction
$N$. Donner l'allure de sa courbe représentative.
\itemitemalphnum On appelle {\sl période\/} ou {\sl demi-vie\/} de ce corps
radioactif le temps $T$ au bout duquel le nombre d'atomes de ce corps a
diminué de moitié. Montrer que $T$ vérifie
$$
T = {\ln 2 \over \lambda}.
$$
\itemitemalph Calculer la constante radioactive de l'iode 131 sachant que
sa période est de $8,06$ jours.
\itemitemalph Déterminer, en années, la période de l'uranium appauvri
(U 238) sachant que sa constante radioactive est $\lambda \approx
4, 22 . 10^{-13}$.
\itemitemalphnum On dispose d'un kilogramme de plutonium (Pu). En admettant
que le nombre d'atomes présents est proportionnel à la masse (il y a
deux fois plus d'atomes dans 2~kg que dans 1~kg), et sachant que la
demi-vie du plutonium est d'environ $25\, 000$~ans, déterminer le
temps nécessaire avant qu'il ne nous reste plus qu'un seul gramme de
notre kilo de départ.
\itemitemalph Plus généralement, combien faut-il de périodes d'un
élément radioactif considéré pour qu'il perde $99, 9\%$ de sa masse~?
Appliquer le résultat à l'iode 131.
\finexo
\corrige{}
\itemalphnum \tresultat{$N (t) = k e^{-\lambda t}$ où $k$ réel quelconque}
\itemalph \dresultat{N (t) = N_0 e^{-\lambda t}}
\itemalph \dresultat{N' (t) = - \lambda N_0 e^{-\lambda t}}, toujours
négatif. Et $f$ est de limite nulle à l'infini..
\itemalphnum
\itemalph \mresultat{\lambda \approx 8, 6 . 10^{-2}}
\itemalph $T \approx 1, 64 . 10^{12}$~jours.
Pour U$_{238}$, la période est de $4, 5$ milliards d'années.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3833667 - 5 décembre 2008)
