\exo{Désintégration d'un corps radioactif} Un corps est dit {\sl radioactif\/} lorsqu'il se désintègre spontanément en transformant une partie de ses noyaux en rayonnement. Si $t$ désigne le temps exprimé en jours, et $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs restant à l'instant $t$, on montre en physique que la fonction définie sur $[0,+\infty[$ par $t\mapsto N(t)$ est solution de l'équation différentielle $$ {dN \over dt} = -\lambda N \leqno (E) $$ où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif appelé {\sl constante radioactive\/} du corps. \smallskip \itemitemalphnum Résoudre l'équation différentielle $(E)$. \itemitemalph Soit $N_0$ le nombres d'atomes radioactifs à l'instant $t=0$. Déterminer l'expression de $N(t)$. \itemitemalph \'Etudier les variations et les limites de la fonction $N$. Donner l'allure de sa courbe représentative. \itemitemalphnum On appelle {\sl période\/} ou {\sl demi-vie\/} de ce corps radioactif le temps $T$ au bout duquel le nombre d'atomes de ce corps a diminué de moitié. Montrer que $T$ vérifie $$ T = {\ln 2 \over \lambda}. $$ \itemitemalph Calculer la constante radioactive de l'iode 131 sachant que sa période est de $8,06$ jours. \itemitemalph Déterminer, en années, la période de l'uranium appauvri (U 238) sachant que sa constante radioactive est $\lambda \approx 4, 22 . 10^{-13}$. \itemitemalphnum On dispose d'un kilogramme de plutonium (Pu). En admettant que le nombre d'atomes présents est proportionnel à la masse (il y a deux fois plus d'atomes dans 2~kg que dans 1~kg), et sachant que la demi-vie du plutonium est d'environ $25\, 000$~ans, déterminer le temps nécessaire avant qu'il ne nous reste plus qu'un seul gramme de notre kilo de départ. \itemitemalph Plus généralement, combien faut-il de périodes d'un élément radioactif considéré pour qu'il perde $99, 9\%$ de sa masse~? Appliquer le résultat à l'iode 131. \finexo \corrige{} \itemalphnum \tresultat{$N (t) = k e^{-\lambda t}$ où $k$ réel quelconque} \itemalph \dresultat{N (t) = N_0 e^{-\lambda t}} \itemalph \dresultat{N' (t) = - \lambda N_0 e^{-\lambda t}}, toujours négatif. Et $f$ est de limite nulle à l'infini.. \itemalphnum \itemalph \mresultat{\lambda \approx 8, 6 . 10^{-2}} \itemalph $T \approx 1, 64 . 10^{12}$~jours. Pour U$_{238}$, la période est de $4, 5$ milliards d'années. \fincorrige