Source de equ1_006.tex
\exo{Une équation différentielle d'ordre 1}
On considère les équations différentielles
$$
(E_1):y'-2y=0
\qquad {\rm et} \qquad
(E_2):y'=y.
$$
\itemitemalphnum Résoudre les équations différentielles
$(E_1)$ et $(E_2)$.
\itemitemalph Déterminer la solution particulière $f_1$ de $(E_1)$
telle que $f'_1 (0)=4$
\itemitem{} Déterminer la solution particulière $f_2$ de $(E_2)$
telle que $f_2 (0)=1$.
\itemnum Soit $g$ la fonction définie sur $\rset$ par~:
\quad $g(x)=2e^{2x}-e^x$.
\itemitemalph \'Etudier les limites de la fonction $g$ en $-\infty $
et en $+\infty $. Pour étudier la limite de $g$ en $+\infty$, on
pourra écrire, pour tout nombre réel $x$, $g(x)=e^x(2e^x-1)$.
\itemitemalph Déduire de la question précédente l'existence d'une
asymptote dont on précisera une équation.
\itemitemalph Déterminer la dérivée $g'$ de $g$.
\itemitemalph \'Etudier le signe de $g'$. En déduire le tableau des
variations de $g$.
\itemnum Préciser les coordonnées des points d'intersection de la
courbe avec les axes du repère.
\itemnum Construire la courbe représentative de la fonction $g$
dans un repère orthogonal.
\itemnum Déterminer, en unités d'aire, l'aire comprise entre la
courbe de $g$, l'axe $Ox$ et les droites d'équations respectives $x =
0$ et $x = 1$.
\finexo
\corrige{}
\itemalphnum Le cours nous dit que~
\item{$\bullet $} Les solutions de l'équation $(E_1)$ sont toutes
les fonctions $y$ ayant une écriture de la forme \dresultat{y (x) = k
e^{2x}}, où $k$ est une constante réelle quelconque.
\item{$\bullet $} Les solutions de l'équation $(E_2)$ sont toutes
les fonctions $y$ ayant une écriture de la forme \dresultat{y (x) = \ell
e^{x}}, où $\ell $ est une constante réelle quelconque.
\itemalph Si $f_1$ est solution de $(E_1)$, alors $f_1 (x)$ s'écrit
$f_1 (x) = k e^{2x}$ pour une certaine valeur de $k$. On a donc $f'_1
(x) = 2ke^{2x}$, et $f'_1 (0) = 2k$. De la condition initiale $f'_1
(0) = 4$, on en déduit alors que $k = 2$. D'où la fonction cherchée
\mresultat{f_1 (x) = 2 e^{2x}}.
\item{} De la même façon, si $f_2$ est solution de $(E_2)$, alors $f_2
(x)$ s'écrit $f_2 (x) = \ell e^x$ pour une certaine valeur de $\ell $.
De la condition initiale $f_2 (0) = 1$, on en déduit alors que $\ell =
1$. D'où la fonction cherchée \mresultat{f_2 (x) = e^x}.
\everymath = {\displaystyle }
\itemalphnum On a facilement \dresultat{\lim_{x \to -\infty } g (x) =
0} puisque $g (x) = 2e^{2x} - e^x$ avec $\lim_{x \to -\infty } e^{2x}
= 0$ et $\lim_{x \to -\infty } e^x = 0$.
\item{} En $+\infty $, l'écriture $2e^{2x} - e^x$ donne une forme
indéterminée. Pour lever cette in\-dé\-ter\-mi\-na\-tion, il suffit de
remarquer que $e^{2x} = \big( e^x\big)^2$, ce qui permet d'écrire $g
(x)$ sous la forme $g (x) = e^x (2e^x - 1)$. On a alors la limite
\dresultat{\lim_{x \to +\infty } g (x) = +\infty } puisque $\lim_{x
\to +\infty } e^x = +\infty $.
\itemalph L'existence d'une \tresultat{asymptote horizontale
d'équation $y=0$} à la courbe de $g$ en $-\infty $ est prouvée par
limite de $g$ en $-\infty $.
\itemalph On a \dresultat{g' (x) = 4e^{2x} - e^x = e^x (4e^x - 1)}.
\itemalph L'exponentielle étant toujours strictement positive, la
dérivée $g'$ est du signe de $4e^x - 1$. Or
$$
4e^x - 1 \geq 0
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
e^x \geq {1\over 4}
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
x \geq \ln \left( {1 \over 4}\right) = - 2\ln 2
$$
d'où le tableau des variations de $g$~:
$$\vcenter{
\eightpoint\rm
\def \hfq{\hfil \ }
\offinterlineskip
\halign{
% preamble
&\hfq #\hfq
\cr
$x$& \vrule depth 5pt
& $-\infty $&& $-2 \ln 2$&& $+\infty$%
\cr
\noalign{\hrule}
$f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt
&& $-$& $0$& $+$
\cr
\noalign{\hrule}
\bbuucenter{$f (x)$}& \vrule
& \bbuup{$0$}&
\bbrightddownarrow & \down{$-0, 125$}&
\bbrightuuparrow & \bbuup{$+\infty $}
\cr
}}
$$
où $g (-2\ln 2) = 2 e^{-4\ln 2} - e^{-2\ln 2} = 2 e^{\ln {1 \over 2^4}}
- e^{\ln {1 \over 2^2}} = {2\over 16} - {1\over 4} = - {1\over 8}$
\itemnum On a $g (0) = 1$, donc l'intersection de la courbe de $g$
avec l'axe $Oy$ est le point \mresultat{A (0, 1)}.
\item{} Rechercher l'intersection de la courbe représentative de la
fonction $g$ avec l'axe $Ox$ revient à résoudre le système
%%% %% pour la magnification 1000
%%% $$
%%% \cases{
%%% y = g (x)
%%% \cr
%%% y = 0
%%% \cr}
%%% \quad \Leftrightarrow \quad
%%% \cases{
%%% 0 = e^x (2e^x - 1)
%%% \cr
%%% y = 0
%%% \cr}
%%% \quad \Leftrightarrow \quad
%%% \cases{
%%% 0 = 2e^x - 1
%%% \cr
%%% y = 0
%%% \cr}
%%% \quad \Leftrightarrow \quad
%%% \cases{
%%% 1/2 = e^x
%%% \cr
%%% y = 0
%%% \cr}
%%% \quad \Leftrightarrow \quad
%%% \cases{
%%% \ln (1/2) = x
%%% \cr
%%% y = 0
%%% \cr}
%%% $$
%%%
%% pour la magnification 1200
$$\displaylines{
\cases{
y = g (x)
\cr
y = 0
\cr}
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
\cases{
0 = e^x (2e^x - 1)
\cr
y = 0
\cr}
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
\cases{
0 = 2e^x - 1
\cr
y = 0
\cr}
\cr
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
\cases{
1/2 = e^x
\cr
y = 0
\cr}
\qquad \Longleftrightarrow \qquad
\cases{
\ln (1/2) = x
\cr
y = 0
\cr}
\cr
}$$
d'où l'unique point d'intersection \mresultat{B (-\ln 2, 0)}.
\itemnum
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/equadiff/}
\epsfxsize = 120mm
$$
\superboxepsillustrate{equ1_006.ps}
$$
\itemnum Le nombre $g (0)$ étant positif, et $g$ étant croissante sur
$[0, 1]$, la fonction $g$ est donc positive sur $[0, 1]$. L'aire
cherchée est alors donnée, en unités d'aire, par le calcul
$$
\int_0^1 g (x) \, dx
= \int_0^1 2e^{2x} - e^x \, dx
= \left[ e^{2x} - e^x \right]_0^1
= (e^2 - e) - (1 - 1)
$$
d'où l'aire cherchée~: \dresultat{{\cal A} = e^2 - e} en unités d'aire.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.06s - 3833857 - 5 décembre 2008)
