Source de equ2

$Fichier TeX$
\exo{\'Equation différentielle d'ordre 2 -- Calcul de volume}

\itemnum On considère l'équation différentielle $(E) : \quad y'' + 9y
= 0$.

\itemitemalph Résoudre l'équation $(E)$.

\itemitemalph Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$
vérifiant
$$
   f \Big( {\pi \over2} \Big) = \sqrt3
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' \Big( {\pi \over2} \Big) = 3.
$$

\itemitemalphnum Montrer que l'on peut écrire $f (x)$ sous la forme 
$$
   f (x) = 2 \cos \Big( 3x + {\pi \over3}\Big)
$$

\itemitemalph Résoudre dans l'intervalle $[-\pi/3, \pi/3]$ l'équation $f
      (x) = 0$. 

\itemnum On munit l'espace d'un repère orthonormé $(O, \vec \imath,
\vec \jmath, \vec k\,)$ (unité graphique~: 3~cm).

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/equadiff/}

\epsfxsize = 70mm

$$
   \superboxepsillustrate{equ2_003.ps}
$$

\item{} 
On appelle $C$ la courbe représentative dans le repère $(O, \vec
\imath, \vec \jmath\,)$ de la fonction $g$ définie sur $[-5\pi / 18,
\pi/18]$ par
$$
   g (x) = 2 \cos \Big( 3x + {\pi \over3}\Big)
$$
Calculer le volume $V$ du solide engendré par la rotation autour de
l'axe $(O, \vec \imath\,)$ de la partie du plan délimité par l' axe
$(O, \vec \imath\,)$ et $C$. On exprimera le résultat en $\cm^3$.

\finexo

\corrige{}

\itemalphnum On a $y'' + 9y = 0$ si et seulement si \mresultat{y = A
\cos (3x) + B \sin (3x)} où $A$ et $B$ sont des réels quelconques.
On en déduit en particulier que si $y$ est une solution de $(E)$,
alors \mresultat{y' (x) = -3A \sin (3x) + 3B \sin (3x)}.

\itemalph Si $f$ est une solution de $(E)$ vérifiant les conditions
initiales imposées, alors
$$
   \cases{
      f (\pi/2) = \sqrt3
   \cr
      f' (\pi/2) = 3
   \cr}
      \qquad \Longrightarrow \qquad
   \dresultat{\cases{
      B = -\sqrt3
   \cr
      A = 1
   \cr}}
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat{f (x) = \cos 3x - \sqrt3 \sin 3x}
$$

\itemalph En développant $\cos (3x + \pi/3)$ avec la formule $\cos
      (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$, on obtient 
$$
   2 \cos \Big( 3x + {\pi \over3}\Big)
      = 2 \Big( \cos 3x \cos {\pi \over3} - \sin 3x \sin {\pi
      \over3}\Big)
      = \cos 3x - \sqrt3 \sin 3x
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{f (x) = 2 \cos \Big( 3x + {\pi \over3}\Big)}
$$

\itemalph {\bf 1ére méthode~:} 
   Si $x \in I = [-\pi/3, \pi/3]$, alors $3x \in [-\pi, \pi]$
   et $(3x + \pi/3) \in [-2\pi/3, 4\pi/3]$. Résoudre l'équation $f
   (x) = 0$ pour $x \in [-\pi/3, \pi/3]$ revient donc à résoudre
   l'équation~:
$$
   \cos X = 0
      \qquad {\rm pour} \quad
   X \in \left[ -{2\pi \over3}, {\pi \over3}\right]
$$
équation on l'on a bien sûr posé $X = 3x + \pi/3$. Un simple dessin
nous montre que les seules solutions pour $X$, dans l'intervalle
considéré, sont les valeurs $X = \pi/2$ et $X = -\pi/2$. D'où la
résolution de l'équation pour $x \in I = [-\pi/3, \pi/3]$~:
$$
   f (x) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      3x + \pi/3 = - \pi/2
   \cr
      \quad {\rm ou}
   \cr
      3x + \pi/3 = \pi/2
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      3x = - 5\pi/6
   \cr
      \quad {\rm ou}
   \cr
      3x = \pi/6
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \dresultat{\cases{
      x = - 5\pi/18
   \cr
      \quad {\rm ou}
   \cr
       x = \pi/18
   \cr}}
$$

\item{} {\bf 2ème méthode~:} (sans réfléchir) On a, si $k$ désigne un
      entier relatif quelconque, $f (x) = 0$ si et seulement si
$$
   \cases{
      3x + \pi/3 = - \pi/2 + 2k\pi
   \cr
      \quad {\rm ou}
   \cr
      3x + \pi/3 = \pi/2 + 2k\pi
   \cr} %\quad k \in \zset
      \quad \Leftrightarrow \quad
   \cases{
      3x = - 5\pi/6 + 2k\pi
   \cr
      \quad {\rm ou}
   \cr
      3x = \pi/6 + 2k\pi
   \cr}
      \quad \Leftrightarrow \quad
   \cases{
      x = - 5\pi/18 + 2k\pi/3
   \cr
      \quad {\rm ou}
   \cr
       x = \pi/18 + 2k\pi/3
   \cr}
$$
En essayant les différentes valeurs possibles pour l'entier $k$, on
s'aperçoit que l'équation $f (x) = 0$ n'admet que deux solutions dans
l'intervalle $I$ considéré~: \mresultat{x = - 5\pi/18} et \mresultat{x =
\pi/18}. 

\itemnum L'unité graphique étant de 3~cm, le volume $V$ engendré est
      donné par le calcul
$$
   V = 3^3 \int_{-5\pi/18}^{\pi/18} \pi g^2 (x) \, dx \cm^3.
$$
En posant $x_1 = -5\pi/18$ et $x_2 = \pi/18$, il vient
$$\eqalign{
   V &= 27 \pi \int_{x_1}^{x_2} g^2 (x)\, dx
      = 108 \pi \int_{x_1}^{x_2} \cos^2 \Big( 3x + {\pi \over3}\Big) \,
      dx
      = {108 \pi \over2} \int_{x_1}^{x_2} 1 + \cos \Big( 6x + {2\pi
      \over3}\Big) \, dx
\cr
   &= 54 \pi \left[ x + {1\over6} \sin \Big( 6x + {2\pi
      \over3}\Big)\right]_{x_1}^{x_2} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \mresultat{V = 18 \pi^2 \cm^3}.
\cr
}$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3833953 - 5 décembre 2008)