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\exo {Dérivées et tableaux de variation}

\itemnum On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par
$$
   f (x) = xe^x.
$$

\itemitemalph Calculer $f'(x)$ pour $x\in \rset $.

\itemitemalph \' Etudier le signe de $f' (x)$ pour $x\in \rset $.

\itemitemalph Dresser le tableau de variation de $f$. (Les études
de limites ne sont pas demandées.)

\itemnum On considère la fonction $g$ définie sur $\rset ^*$ par
$$
   g (x) = {e^x + 1\over e^x - 1}
$$

\itemitemalph Calculer $g'(x)$ pour $x\in \rset ^*$.

\itemitemalph \' Etudier le signe de $g' (x)$ pour $x\in \rset ^*$.

\itemitemalph Dresser le tableau de variation de $g$. (Les études
de limites ne sont pas demandées.)


%% \columns 2
%% 
%% \settabs 5 \columns
%% 
%% \everymath = {\displaystyle \tvi depth 3pt height 10pt}
%% 
%% \+
%%    \alph\ $f (x) = xe^x$ && $I = \rset $
%% \cr
%% \+
%%    \alph\ $f (x) = {e^x + 1\over e^x - 1}$ && $I = \rset ^* = ]-\infty ,
%%    0[\, \cup \, ]0, +\infty [$
%% \cr
%% 
%% \endcolumns

\finexo

\corrige {}

\everymath =  {\displaystyle }

\itemalph $\bullet$ On utilise la formule $(uv)' = u'v+uv'$. Il vient 
   $f' (x) = e^x + xe^x$, soit \dresultat {f' (x) = e^x (1+x)}.

\item {} $\bullet $ {\sl \' Etude du signe de la dérivée}

\item {} Comme $e^x$ est toujours positif, la dérivée est du
signe de $1+x$. Or on a $1+x \geq 0$ ssi $x \geq -1$. D'où le
tableau~: 
$$\dresultat {\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && -1&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      1+x&& & -& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule }
      e^x&& & +& \tv & +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      f' (x)&& & -& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& &
      \brightddownarrow & \down{$-e^{-1} = -{1\over e}$}& 
      \brightuuparrow & \buup {\phantom {1}}
   \cr
}}}
$$

\itemalph $\bullet $ Pour $f (x) = {e^x + 1 \over e^x -1}$, on utilise la formule 
$\left( {u\over v}\right) ' = {u'v -uv' \over v^2}$. Il vient
$$
   f' (x) = {e^x (e^x - 1) - (e^x +1) e^x \over \left( e^x - 1\right) ^2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = {-2e^x \over \left( e^x - 1\right) ^2}}
$$


\item {} $\bullet $ 
{\sl \' Etude du signe de la dérivée}

\item {} On a $\left( e^x - 1\right) ^2$ qui est égal à $0$ quand $x=0$, et
qui est toujours positif sinon (c'est un carré). Donc la dérivée est
du signe de $-2e^x$. Et comme $e^x$ est toujours positif, \tresultat
{$f'$ est toujours négative}.
D'où le tableau~:
$$\dresultat {\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && 0&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      -2e^x&& & -& \tv & -
   \cr
   \noalign {\hrule }
      \left( e^x - 1 \right) ^2&& & +& 0 & +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      f' (x)&& & -& \doublevrule & -
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& &
      \brightddownarrow & \doublevrule & 
      \brightddownarrow & \buup {\phantom {1}}
   \cr
}}}
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 20 janvier 2006 (0.08s - 3834018 - 5 décembre 2008)