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$Fichier TeX$
\exo{\'Etude d'une fonction exponentielle, {\rm bac F1}, {\sl 1994}}

Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'ensemble des nombres
réels $\rset$ par
$$
   f (x) = 5 - x - e^{-x}.
$$
On désigne par $\cal C$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal d'unité graphique 1~cm.

\itemitemalphnum Déterminer la limite de $f$ en $+\infty $.

\itemitemalph Démontrer que $f (x)$ peut s'écrire sous la forme
$f (x) = e^{-x} \left( 5e^{x} - x e^x - 1\right)$.

\itemitemalph Déterminer la limite de $f (x)$lorsque $x$ tend vers
$-\infty$. 

\itemitemalphnum Montrer que $f' (x) = e^{-x} -1$ .

\itemitemalph \'Etudier le signe de $f' (x)$. En déduire le tableau de
variation de la fonction $f$.

\itemitemalphnum Montrer que la droite $D$ d'équation $y = -x + 5$ est
asymptote à la courbe $\cal C$.

\itemitemalph \'Etudier la position relative de $\cal C$ et $D$.

\itemnum On considère la droite $\Delta$ d'équation $y = -x$.

\itemitemalph Calculer les coordonnées de $A$, le point d'intersection
de $\Delta$ et $\cal C$.

\itemitemalph Calculer le coefficient directeur de la tangente en $A$
à $\cal C$ et tracer cette tangente.

\itemnum Construire $\cal C$ et $D$ avec précision.

\itemnum Calculer, en cm$^2$, l'aire du domaine plan limité par $\cal
C$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation
$x=2$. On donnera la valeur exacte de cette aire puis la valeur
approchée, arrondie au mm$^2$.

\finexo

\corrige{}

\everymath = {\displaystyle }

\itemalphnum On a \dresultat{\lim_{x \to +\infty} f (x) = -\infty} car
$\lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.

\itemalph Pour le calcul de la limite en $-\infty$, on ne peut
utiliser l'écriture $f (x) = 5-x - e^{-x}$ car elle donne une forme
indéterminée ($\infty - \infty$). On factorise alors par \og le terme
dominant \fg\ pour écrire
$$
   \lim_{x \to -\infty} f (x) =
      \lim_{x \to -\infty} e^{-x} \left( 5e^{x} - x e^x - 1\right)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{\lim_{x \to -\infty} f (x) = -\infty}
$$
puisque $\lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$, $\lim_{x \to
-\infty} 5e^x = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} xe^{x} = 0$ (formulaire).

\itemnum On trouve \dresultat{f' (x) = -1 + e^{-x}}. Et 
$$
   f' (x) \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   e^{-x} \geq 1
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   -x \geq 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   x \leq 0
$$
d'où le tableau de signe de $f'$ et le tableau de variation de $f$~:
$$\dresultat{\vcenter{
\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \vrule depth 5pt 
         & $-\infty$&& $0$&& $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt 
         && $+$& $0$& $-$& 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule
      & \down{$-\infty$}& 
      \bbrightuuparrow & \bbuup{$4$}&
      \bbrightddownarrow & \down{$-\infty$}
   \cr
}}}
$$

\itemalphnum On a 
$$
   \lim_{x \to +\infty} \big( f (x) - (-x+5)\big)
      = \lim_{x \to +\infty} (-e^{-x}) = 0
$$
donc \tresultat{$D$ asymptote à la courbe $\cal C$ en $+\infty$}.

\itemalph \'Etudier la position relative de $\cal C$ et $D$ revient à
étudier le signe de la différence $f (x) - (-x+5)$. Comme cette
différence est égale à $-e^{-x}$ et que l'exponentielle est toujours
strictement positive, on en déduit que cette différence est toujours
strictement négative, et donc que \tresultat{$\cal C$ est toujours en
dessous de $D$}.

\itemalphnum Déterminer les coordonnées du point d'intersection des
courbes $\cal C$ et $\Delta$ revient à résoudre le système
$$
   \cases{
      y = f (x)
   \cr
      y = -x
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      -x = 5 - x - e^{-x}
   \cr
      y = -x
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      e^{-x} = 5 
   \cr
      y = -x
   \cr}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      -x = \ln 5 
   \cr
      y = -x
   \cr}
$$
d'où l'unique point d'intersection \mresultat{A (-\ln 5, \ln 5)}.

\itemalph Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\cal C$
en $A$ est \mresultat{f' (-\ln 5) = 4}, puisque $f' (-\ln 5) = -1 +
e^{\ln 5} = -1+ 5$.

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/exp/}

\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {etud_001.ps}
$$

\itemnum Comme $f (2) = 3 - e^{-2} \approx 2, 86$ est positif, on voit
sur le tableau de variation que la fonction $f$ est positive sur
l'intervalle $[0, 2]$. L'aire est donc donnée, en unités d'aire, par
le calcul de l'intégrale
$$
   \int_0^2 f (x) \, dx
      = \int_0^2 5-x - e^{-x} \, dx
      = \left[ 5x - {x^2 \over2} + e^{-x}\right]_0^2 = 7 + e^{-2}.
$$
L'unité d'aire étant de $1\times 1 \cm ^2$, l'aire cherchée est donc
$$
   \dresultat{{\cal A} = 7 + e^{-2} \cm^2 \approx 714 \mm^2}
$$
 à $1\mm^2$ près par excès.


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.09s - 3833868 - 5 décembre 2008)