Source de pbm_002.tex
\exo{\'Etude d'une fonction exponentielle}
\let \partie \centerpartie
Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie par
$\displaystyle{
f (x) = x - {x+1 \over e^x}
}$ et le calcul d'une aire.
\medskip
\partie{I}
Soit $u$ la fonction numérique définie sur $\rset$ par
$$
u (x) = e^x + x.
$$
\itemnum Déterminer les limites de $u(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$
et quand $x$ tend vers $-\infty$.
\'Etudier le sens de variation de $u$ et dresser son tableau de variation.
\itemitemalphnum Démontrer que l'équation $e^x + x = 0$ n'admet sur
$\rset$ qu'une solution unique, que l'on notera $\alpha$.
\itemitemalph Démontrer que $\alpha$ appartient à $]-1,0[$.
\itemitemalph Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$
près par défaut.
\itemnum De l'étude précédente, déduire le signe de $u(x)$ sur chacun des intervalles $]-\infty,\alpha[$ et $]\alpha, +\infty[$.
\partie{II}
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\rset$ par
$$
f (x) = x - {x+1 \over e^x}.
$$
\itemnum Déterminer les limites de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$
et quand $x$ tend vers $-\infty$.
\itemitemalphnum Calculer $f'(x)$.
\itemitemalph Démontrer que $f'(x)$ a le même signe que $u(x)$.
\itemitemalph En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et
dresser son tableau de variation (on utilisera la valeur approchée de
$\alpha$ trouvé au {\bf 2.} du {\bf I.} pour calculer une valeur
approchée de $f(\alpha)$).
\partie{III}
On appelle $\cal C$ la représentation graphique de $f$ dans un repère
orthonormal $(O,\vec \imath,\vec \jmath\,)$, unité~: 2~cm.
\itemnum Démontrer que $\cal C$ admet la droite $D$ d'équation $y = x$
comme asymptote.
\itemnum Soit $g$ la fonction numérique définie par
$$
g (x) = f (x) - x.
$$
\'Etudier le signe de $g(x)$ sur $\rset$ et en déduire la position de
$\cal C$ par rapport à $D$. On précisera les coordonnées de leur point
commun $I$.
\itemnum Déterminer l'équation de la tangente $T$ à $\cal C$ en $I$.
\itemnum Tracer avec soin dans le repère $(O,\vec \imath,\vec \jmath\,)$
les droites $T$ et $D$ ainsi que la courbe $\cal C$.
\partie{IV}
\itemnum Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\rset$ par :
$$
h (x) = (ax+b) e^{-x}.
$$
\itemitemalph Déterminer les réels $a$ et $b$ de façon que la fonction
$h$ soit une primitive de la fonction $g$.
\itemitemalph En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$.
\itemnum Calculer la valeur exacte en cm$^2$, de l'aire de la partie $E$
du plan limitée par la courbe et les droites d'équations $y = 0$, $x =
-1$ et $x = 0$.
On donnera une valeur approchée de cette aire à $10^{-2}$ près par
défaut.
\finexo
\corrige{}
\let \partie \centerpartie
\partie{I}
\setbox \tmpbox = \vbox{%
\eightpoint\rm
\def \hfq{\hfil \ }
\offinterlineskip
\halign{
% preamble
&\hfq #\hfq
\cr
$x$& \vrule depth 5pt & $-\infty$&& $+\infty$%
\cr
\noalign{\hrule}
$u' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt &&
$+$
\cr
\noalign{\hrule}
\bbuucenter{$u (x)$}& \vrule& \down{$-\infty$}&
\bbrightuuparrow & \bbuup{$+\infty$}
\cr
}}
\rightillustrate{\tmpbox}{-6}
%
\num\ Comme $u (x) = e^x + x$, on a facilement
$$
\dresultat{\lim_{x\rightarrow +\infty} u (x) = + \infty}
\quad {\rm et} \quad
\dresultat{\lim_{x\rightarrow -\infty} u (x)= - \infty}.
$$
Et \mresultat{u' (x) = 1 + e^x}
qui est toujours strictement positif puisque $e^x$ toujours
positif. D'où le tableau de variations de $u$.
\num\ Comme $u$ est une fonction strictement croissante et qu'elle
change de signe sur $\rset$, on en déduit que l'équation $u (x) = 0$
\tresultat{admet une unique solution $\alpha$ sur $\rset$}.
Et comme $u (-1) < 0$ et $u (0) > 0$, on peut même préciser que
\mresultat{\alpha \in \, ]-1, 0[}. Avec la calculatrice, on affine
l'encadrement par dichotomie pour obtenir $-0, 568 < \alpha < -0, 567$
(puisque $u (-0, 568) < 0$ et $u (-0, 567) > 0$), et la valeur
approchée par défaut cherchée est \mresultat{\alpha \simeq -0, 568}
\num\ On a donc finalement \tresultat{$u (x)$ négatif pour $x <
\alpha$} et \tresultat{$u (x)$ positif pour $x > \alpha$}
\partie{II}
\begingroup
\everymath = {\displaystyle }
Beaucoup d'écritures possibles pour $f (x)$, par exemple~:
$$
f (x) = x - {x+1 \over e^x}
= x - {x \over e^x} - {1\over e^x}
= x - xe^{-x} - e^{-x}
= e^{-x} (xe^x - x - 1)
= {xe^x - x- 1 \over e^x \ldots}
$$
Le tout est de choisir la bonne, suivant l'utilisation que l'on veut
en faire\dots
\itemnum $\lim_{x \rightarrow +\infty} f (x)
= \lim_{x \rightarrow +\infty} \Big( x - {x \over e^x} - {1\over e^x} \Big)
= \lim_{x \rightarrow +\infty} \Big( \downto{x}{+\infty} -
\downto{xe^{-x}}{0} - \downto{e^{-x}}{0} \Big)
= $ \dresultat{+ \infty = \lim_{x \rightarrow +\infty} f (x)}.
\item{} et $\lim_{x \rightarrow -\infty} f (x)
= \lim_{x \rightarrow -\infty} \downto{e^{-x}}{+\infty}
(\downto{xe^x}{0} \phantom{-} \downto{-x}{+\infty} - 1) =$
\dresultat{+ \infty = \lim_{x \rightarrow -\infty} f (x)}.
\itemnum On a
$$
f' (x) = 1 - {e^x - x e^x - e^x \over \big( e^x \big)^2}
= 1 + {x \over e^x} = {e^x + x \over e^x}
\qquad {\rm soit} \qquad
\dresultat{f' (x) = {u (x) \over e^x}},
$$
ce qui prouve que \tresultat{$f' (x)$ est du signe de $u (x)$} car
$e^x$ est toujours positif. D'où le tableau de variations de $f$~:
$$\vcenter{
\eightpoint\rm
\def \hfq{\hfil \ }
\offinterlineskip
\halign{
% preamble
&\hfq #\hfq
\cr
$x$& \vrule depth 5pt &
$-\infty$&& $\alpha$&& $+\infty$%
\cr
\noalign{\hrule}
$f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt &&
$-$& $0$& $+$
\cr
\noalign{\hrule}
\bbuucenter{$f (x)$}& \vrule&
\bbuup{$+\infty$}&
\bbrightddownarrow & \down{$\simeq -1, 33$}&
\bbrightuuparrow & \bbuup{$+\infty$}
\cr
}}
$$
On peut remarquer que l'on a $f (\alpha) = 1 + \alpha + {1\over
\alpha}$ puisque $e^\alpha = -\alpha$ d'après le {\bf I. 2.}.
\partie{III}
\itemnum On a $\lim_{x \rightarrow +\infty} \big( f (x) - x \big)
= \lim_{x \rightarrow +\infty} ( - x e^{-x} - e^{-x} ) = 0$ (car
$\lim_{x \rightarrow +\infty} x e^{-x} = 0$ d'après le cours), donc
$$
\tresultat{$D$ et $\cal C$ sont asymptotes en $+\infty$}.
$$
\itemnum On a $g (x) = f (x) - x = -x e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}
(x+1)$, donc $g (x)$ est du signe de $- (x+1)$ d'où les positions
relatives~:
$$\vcenter{
\eightpoint\rm
\offinterlineskip
\halign{
% preamble
&\hfq #\hfq
\cr
$x$& \vrule depth 5pt &
$-\infty$&& $-1$&& $+\infty$%
\cr
\noalign{\hrule}
$f (x) - x$& \vrule height 10pt depth 3pt &&
$+$& $0$& $-$
\cr
\noalign{\hrule}
\tvi height 12pt positions& \vrule&&
$C_f$ au dessus de $D$& \vrule &
$C_f$ au dessous de $D$
\cr
}}
$$
En particulier, il n'y a qu'un seul point d'intersection~:
\tresultat{le point $I (-1, -1)$}.
\itemnum On a $f' (-1) = 1 - e$ et $f (1) = -1$ d'où la tangente
cherchée \mresultat{T: \quad y = (1-e) x - e}.
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/exp/}
\itemnum
$$
\superboxepsillustrate{pbm_002.ps}
$$
\endgroup %% fin du \displaystyle pour \everymath
\partie{IV}
\itemalphnum On veut que $h$ soit une primitive de $g$. Autrement dit,
on veut avoir $h' (x) = g (x)$. Comme $h' (x) = ae^{-x} - (ax+b)
e^{-x} = e^{-x} (-ax + a-b)$ et que $g (x) = e^{-x} (-x-1)$ , on voit,
par identification des coefficients, que l'on doit avoir
$$
\cases{
-a = -1
\cr
a-b = -1
\cr}
\qquad {\rm soit} \qquad
\mresultat{a= 1}
\quad {\rm et} \quad
\mresultat{b=2}
$$
On en déduit qu'une primitive de $g$ est la fonction $h$ définie par
\mresultat{h (x) = (x+2) e^{-x}}.
\itemalph Et comme $f (x) = g (x) + x$, on en déduit qu'une primitive
de la fonction $F$ est, par exemple, la fonction $F$ définie sur
$\rset$ par \dresultat{F (x) = {x^2 \over 2} + (x+2) e^{-x}}.
\itemnum Comme $f (-1) = -1$ et $f (0) = -1$, on en déduit, au vu du
tableau de variations, que la fonction $f$ reste négative sur tout
l'intervalle $[-1, 0]$. L'aire cherchée est donc donnée par le calcul
$$
{\cal A} = - \int_{-1}^0 f (x) \, dx
= - \big[ F (x) \big]_{-1}^0
= - \Big( 2 - {1\over2} - e \Big)
= e - {3\over2} \quad \hbox{en unités d'aire}
$$
L'unité d'aire étant de $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, on en déduit que
l'aire cherchée est de \tresultat{$(4e - 6)$~cm $^2$}, soit, à
$10^{-2}$ près par défaut, \mresultat{{\cal A} \simeq 4, 873 \cm^2}.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3833852 - 5 décembre 2008)
