Source de pbm

$Fichier TeX$
\exo {Un problème de synthèse avec l'exponentielle, {\rm problème p 53}, {\sl
Anabac sti 2000, Nathan non corrigé}} 

\finexo

\corrige {}

\let \partie \centerpartie

\partie {A}

\itemnum Il vient 
$$
   g' (x) = a - {4 e^x (e^x+3) - 4e^x e^x \over \big( e^x + 3\big) ^2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {g' (x) = a - {12 e^x \over \big( e^x + 3\big) ^2}}
$$

\itemnum Traduisons les hypothèses~: $C_g$ passe par $H$ si et
      seulement si $g (\ln 3) = \ln 3$, et la tangente en $H$ est
      horizontale si et seulement si $g' (\ln 3) = 0$. Or on a
$$
   g (\ln 3) = a\ln 3 + b - 2
      \qquad {\rm et} \qquad
   g' (\ln 3) = a-1
$$
on a donc facilement \dresultat {a = 1} et \dresultat {b = 2}, soit
\dresultat {g (x) = x+2 - {4e^x \over e^x + 3}}.

\partie {B}

\itemnum Il suffit de calculer la différence et de montrer qu'elle est
nulle. Or
$$
   x+2 - {4e^x \over e^x + 3} - x + 2 - {12\over e^x + 3} 
      = 4 - {4e^x + 12\over e^x + 3} = 0,
$$
la dernière égalité étant obtenue par réduction au même dénominateur.
On a donc finalement
$$\dresultat {
   x - 2 + {12\over e^x +3} = 
   f (x) =
   x + 2 - {4e^x\over e^x +3} 
}$$

\itemnum On trouve
$$
   \lim _{x\to +\infty } x - 2 + {12\over e^x +3} = 
      \dresultat {+\infty = \lim _{x\to +\infty } f (x)}
$$
puisque
$\displaystyle {
   \lim _{x\to +\infty } x - 2  = +\infty
}$,
$\displaystyle {
   \lim _{x\to +\infty } e^x + 3  = +\infty
}$
et 
$\displaystyle {
   \lim _{x\to +\infty } {12\over e^x + 3}  = 0
}$.

\item {} Et
$$
   \lim _{x\to -\infty } x + 2 - {4e^x\over e^x +3} = 
      \dresultat {-\infty = \lim _{x\to -\infty } f (x)}
$$
puisque
$\displaystyle {
   \lim _{x\to -\infty } x + 2  = -\infty
}$,
$\displaystyle {
   \lim _{x\to -\infty } e^x + 3  = 3
}$
et 
$\displaystyle {
   \lim _{x\to -\infty } 4e^x = 0
}$.

\itemnum En reprenant les calculs ci-dessus, on montre facilement que
l'on a
$$
   \lim _{x\to -\infty } f (x) - (x+2) 
      = \lim _{x\to -\infty } - {4e^x\over e^x +3} = 0
      \qquad {\rm et} \qquad
   \lim _{x\to +\infty } f (x) - (x-2) 
      = \lim _{x\to +\infty } {12e^x\over e^x +3} = 0
$$
Ainsi, \tresultat {les droites $D_1$ et $D_2$ sont asymptotes à la
courbe $C$}.

\item {} Quand aux positions relatives, il faut étudier le signe de
ces différences. Une fois remarqué que $e^x$ était toujours positif,
il devient évident, au vu des calculs précédents, que $f (x) - (x+2)$
est toujours négatif, alors que $f (x) - (x-2)$ est toujours positif.
D'où les positions relatives~: \tresultat {$D_2$ toujours en dessous
de $C$} et \tresultat {$D_1$ toujours en dessus de $C$}

\itemnum Prenons la première expression de $f$, on trouve alors, en
utilisant la formule $(1/u)' = -u'/u^2$,
$$
   f' (x) = 1 - {12e^x\over \big( e^x + 3\big) ^2} 
      = {\big( e^x + 3\big) ^2 - 12e^x \over \big( e^x + 3\big) ^2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = {e^{2x} - 6e^x +9 \over \big( e^x + 3\big) ^2}}
$$
et $f' (x)$ est du signe de $e^{2x} - 6x + 9$ puisque le dénominateur
est toujours positif.

\item {} Reste à voir que $e^{2x} - 6e^x + 9 = \big( e^x - 3\big)
^2$ pour pouvoir conclure que cette expression est toujours positive
ou nulle, et qu'elle ne s'annulle que lorsque $e^x = 3$, c'est à dire
quand $x = \ln 3$.

\item {} Si on ne s'aperçoit pas immédiatement de l'identité
remarquable, alors on va chercher le signe de l'expression $e^{2x} -
6e^x + 9$. Pour ce faire, on utilise le changement de variable $X =
e^x$, qui implique $X^2 = e^{2x}$ et on calcule le discriminant
$\Delta $ de l'expression $X^2 - 6X + 9$ pour trouver $\Delta = 0$,
d'où la racine unique $X=3$ et la factorisation de l'expression en
$(X-3)^2$\dots

\item {} En résumé, on obtient le tableau suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && \ln 3&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& &+& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \down {$-\infty $}&
      \brightuparrow & \buucenter{$\ln 3$}& 
      \bup {\brightuparrow }& \buup {$+\infty $}
   \cr
}}
}$$

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/exp/}
\epsfxsize = 80mm
\itemnum et le graphique~:
$$
   \superboxepsillustrate {pbm_008.ps}
$$

\partie {C}

\itemnum On reconnaît une expression de la forme $u'/u$, avec $u (x)$
toujours positif. Une primitive de la fonction $h$ est donc, par
exemple, la fonction $H$ définie pour tout réel $x$ par \dresultat {H
(x) = \ln (e^x + 3)}.

\itemnum En reprenant l'expression
$$
   f (x) = x+2 - {4e^x \over e^x + 3},
$$
on voit que les primitives de la fonction $f$ sont toutes les
fonctions $F$ qui s'écrivent
$$
   F (x) = {x^2 \over 2} + 2x - 4H (x) + k
      \qquad {\rm où} \qquad
   k \hbox { est une constante réelle quelconque}
$$
Comme $H (0) =\ln 4$, et sachant que l'on veut avoir $F (0) = 2$, on
voit qu'il faut prendre $k = 2 + 4\ln 4$. D'où la primitive cherchée~:
$$
   \dresultat {F (x) = {x^2 \over 2} + 2x - 4H (x) + 2 + 4\ln 4}
$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3833942 - 5 décembre 2008)