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\exo{\'Etude d'une fonction rationnelle. ({\sl d'après Bac $F_1$, 1991})}

On considère $f$, la fonction numérique de la variable réelle
$x$ définie sur l'intervalle $]2, +\infty[$ par
$$
   f (x) = x + 2 + {4 \over x-2}.
$$
Soit $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal
d'unité 1~cm (ou 1~grand carreau).

\itemnum \'Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.

\itemitemalphnum Montrer que la courbe $C_f$ admet la droite $\Delta$
d'équation $y = x + 2$ pour asymptote. 

\itemitemalph \'Etudier la position de $C_f$ par rapport à $\Delta$.


\itemitemalphnum \'Etudier la limite de $f$ en 2.

\itemitemalph En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe $C_f$.

\itemitemalphnum Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et montrer qu'elle
peut s'écrire sous la forme
$$
   f' (x) = {x^2 -4x\over (x-2)^2}
$$

\itemitemalph \' Etudier le signe de $f' (x)$ pour $x$ appartenant à
l'intervalle $]2, +\infty[ $. En déduire le tableau de variations de
la fonction $f$.

\itemnum Représenter la courbe $C_f$ dans le repère donné.

\itemnum Déterminer une équation de $T$, la tangente à la courbe $C_f$
au point d'abscisse $3$.
 
%% \itemitemalphnum Déterminer, en $\cm ^2$, l'aire du domaine plan limité par la
%% courbe $C_f$, la droite $\Delta $ et les droites $x = 4$ et $x = 10$.
%% 
%% \itemitemalph Hachurer ce domaine sur votre graphique.
%% 
%% \bigskip
%% \centerline{\bf Voir la suite dans l'Anabac Nathan non corrigé, 1998,
%% Stt-Sti, p~173}

\finexo

\corrige{}

\itemnum On a bien sûr \dresultat{\lim_{x \rightarrow +\infty} f (x) =
+\infty} puisque 
$$
   f (x) = x + 2 + {4\over x-2}
     \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \displaystyle{
         \lim_{x \rightarrow +\infty} {4\over x-2} = 0
      }
   \cr
   \cr
      \displaystyle{
         \lim_{x \rightarrow +\infty} x+2 = +\infty 
      }
   \cr }
$$

\itemalphnum On a 
$\displaystyle{
   \lim_{x \rightarrow +\infty} \left[ f (x) - (x+2)\right]
      = \lim_{x \rightarrow +\infty} {4\over x-2} = 0
}$. Donc on a bien \tresultat{$\Delta$ asymptote à $C_f$ en
   $+\infty$}.

\itemalph De plus, la différence $f (x) - (x+2)$ est égale à $4/
   (x-2)$ qui est du signe de $(x-2)$. On en déduit, puisque $x > 2$,
   que $(x-2)$ est toujours positif sur l'intervalle, et donc que
   \tresultat{$C_f$ est toujours au dessus de $\Delta $} sur
   l'intervalle $]2, +\infty [$.

\itemalphnum Et on a \dresultat{\lim_{x \rightarrow 2^+} f (x) = +
   \infty } puisque
$$
   f (x) = x + 2 + {4\over x-2}
     \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \displaystyle{
         \lim_{x \rightarrow 2^+} x-2 = 0^+
      }
   \cr
   \cr
      \displaystyle{
         \lim_{x \rightarrow 2^+} {4\over x-2} = +\infty
      }
   \cr
   \cr
      \displaystyle{
         \lim_{x \rightarrow 2} x+2 = 4
      }
   \cr }
$$
 
\itemalph On en déduit immédiatement que \tresultat{la droite $x=2$
est asymptote verticale à $C_f$}

\itemnum On a 
$$
   f' (x) = 1 - {4 \over (x-2)^2}
      = {x^2 -4x + 4 - 4 \over (x-2)^2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{f' (x) = {x (x - 4) \over (x-2)^2}}
$$
qui est du signe de $x (x - 4)$ puisque $(x-2)^2$ est toujours
positif, et donc du signe de $(x-4)$ puisque $x>2$ par définition de
$f$. D'où le tableau de signe de $f'$, suivi du tableau de variations
de $f$~: 
$$\dresultat{\vbox{
\eightpoint\rm
   \def \hfq{\hfil \ }
   \offinterlineskip
   \halign{
   % preamble
      &\hfq #\hfq
   \cr
      $x$& \tv height 7pt& 
      $2$&& $4$&& $+\infty$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $x-4$& \vrule height 10pt depth 3pt 
      && $-$& $0$& $+$%
   \cr
   \noalign{\hrule}
      $f' (x)$& \vrule height 10pt depth 3pt 
      && $-$& $0$& $+$% 
   \cr
   \noalign{\hrule}
         \bbuucenter{$f (x)$}& \vrule& 
         \bbuup{$+\infty$}\hfill& 
         \bbrightddownarrow & \down{$8$}& 
         \bbrightuuparrow & \bbuup{$+\infty$}%
   \cr
}}
}$$

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/}

\epsfxsize = 110mm

$$
   \superboxepsillustrate{frct_008.ps}
$$

\itemnum On a $f (3) = 9$ et $f' (3) = -3$, d'où l'équation de $T$~:
$$
   y = -3 (x-3) + 9
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {T~: y = -3x + 18 }
$$

\fincorrige{}
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.1s - 3833702 - 5 décembre 2008)