\exo {\' Etude d'une fonction rationnelle} Soit $f$, la fonction définie sur l'intervalle $I = ]-\infty ;1[$ par : $$ f(x) = {-2x^2+6x-3 \over 2(x-1)^2} $$ On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec \imath ,\vec \jmath \,)$ (unité graphique~: 2~cm ou 2~grands carreaux). \itemnum Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant \` a $I$, $$ f(x) = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} $$ \itemitemalphnum Déterminer la limite de $f$ en $-\infty $. \itemitemalph En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe $C$. \itemitemalph Déterminer la limite de $f$ en $1$. \itemitemalph En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe $C$. \itemitemalphnum Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme $$ f' (x) = {-x\over (x-1)^3}. $$ \itemitemalph Dresser le tableau des variations de $f$. \itemnum On désigne par $D$ l'asymptote de la courbe $C$ qui est parallèle à l'axe des abscisses. \itemitemalph Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $C$ avec la droite $D$ \itemitemalph \' Etudier la position de la courbe $C$ par rapport à $D$. \itemnum Tracer les asymptotes et la courbe $C$ dans le repère $(O,\vec \imath ,\vec \jmath \,)$. Placer en particulier les points d'abscisses $-2$, $-1$, $1/4$, $3/4$. \finexo \corrige {} \itemnum Il suffit de réduire au même dénominateur l'expression proposée. Il vient $$\eqalign { f(x) &= -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} = {-2(x-1)^2\over 2(x-1)^2} + {2(x-1)\over 2(x-1)^2} + {1\over 2(x-1)^2} \cr &= {-2x^2 + 4x - 2 + 2x - 2 + 1\over 2 (x-1)^2} \cr } $$ d'où $$\dresultat { -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} = f(x) = {-2x^2+6x-3 \over 2(x-1)^2} }$$ \itemalphnum Pour la limite de $f$ en $-\infty $, on utilise la première écriture. Il vient alors $$ \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = -1} $$ puisque $$ f (x) = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} \qquad {\rm avec} \qquad \cases { \lim _{x\to -\infty } (x-1) = -\infty \cr \lim _{x\to -\infty } 1/(x-1) = 0 \cr \lim _{x\to -\infty } 1/2(x-1)^2 = 0 \cr } $$ \itemalph On en déduit une \tresultat {asymptote horizontale d'équation $y = -1$}. \itemalph Pour la limite de $f$ en $1$ (en fait en $1^-$ puisque l'on se situe à gauche de $1$ dans l'intervalle $]-\infty ; 1[$), on utilise la deuxième écriture. Il vient alors $$ \dresultat {\lim _{x\to 1^- } f (x) = +\infty } $$ puisque $$ f (x) = {-2x^2+6x-3 \over 2(x-1)^2} \qquad {\rm avec} \qquad \cases { \lim _{x\to 1} (-2x^2+6x-3) = 1 \cr \lim _{x\to 1^-} 2(x-1)^2 = 0^+ \cr } $$ \itemalph On en déduit une \tresultat {asymptote verticale d'équation $x = 1$}. \itemalphnum Utilisons l'écriture $$ f(x) = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2} \times {1\over (x-1)^2}. $$ Il vient $$ f' (x) = {-1\over (x-1)^2} + {1\over 2} \times {-2\over (x-1)^3} = {- (x-1)\over (x-1)^3} + {-1\over (x-1)^3} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {f' (x) = {-x\over (x-1)^3}} $$ \itemalph Comme par hypothèse on a $x \in \, ]-\infty ;1[$, il vient $$ x < 1 \qquad {\rm et \ donc} \qquad x-1<0 $$ donc $(x-1)^3$ topujours négatif sur l'intervalle considéré. d'où le tableau de variation suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \halign { %% preamble & \hfil \ #\ \hfil \cr $x$& \tv & $-\infty $&& $0$&& $1$ \cr \noalign {\hrule height1 pt} $-x$& \tv && $+$&& $-$ & \cr \noalign {\hrule } $(x-1)^3$& \tv && $-$&& $-$ & \cr \noalign {\hrule height1 pt} $f' (x)$& \tv && $-$& $0$& $+$ & \hfill \doublevrule \cr \noalign {\hrule height1 pt} \bbuucenter {$f (x)$}& \tv & \bbuup {$-1$}& $\bbrightddownarrow $ &\down {$-3/2$}& $\bbrightuuparrow $& \bbuup {$+\infty $} \hfill \doublevrule \cr }} }$$ \itemalphnum Chercher l'intersection de la droite $D$ avec la courbe $C_f$ revient à résoudre le système $$ \cases { y = -1 \cr y = f (x) \cr } \quad \Longleftrightarrow \quad \cases { y = -1 \cr -1 = f (x) \cr } $$ or la deuxième équation se résoud en $$\eqalign { -1 = f (x) \quad &\Longleftrightarrow \quad -1 = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} \quad \Longleftrightarrow \quad 0 = {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} \cr \quad &\Longleftrightarrow \quad 0 = {2(x-1)\over 2(x-1)^2} + {1\over 2(x-1)^2} \quad \Longleftrightarrow \quad 0 = {2x+1\over 2(x-1)^2} \cr \quad &\Longleftrightarrow \quad 0 = 2x+1 \cr }$$ d'où l'unique point d'intersection~: \dresultat {A \left( {3\over 2}; -1\right) } \itemalph \' Etudier les positions relatives de $C_f$ et $D$ revient à étudier le signe de la différence $f (x) - (-1)$. En reprenant les calculs précédents, on voit que $$ f (x) - (-1) = {2x+1\over 2(x-1)^2} $$ qui est du signe de $(2x+1)$ puisque le dénominateur est un carré. D'où le tableau récapitulatif suivant~: $$\dresultat { \vcenter {\offinterlineskip \halign { %% preamble & \hfil \ #\ \hfil \cr $x$& \tv & $-\infty $&& $-1/2$&& $1$ \cr \noalign {\hrule height1 pt} $f (x) - (-1)$& \tv && $-$& $0$& $+$& \cr \noalign {\hrule height1 pt} & \tv && $C_f$ au dessous de $D$ &\tv & $C_f$ au dessus de $D$ \cr }} }$$ \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/} \itemnum $$ \superboxepsillustrate {frct_011.ps} $$ \fincorrige