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\exo {\' Etude d'une fonction rationnelle}

Soit $f$, la fonction définie sur l'intervalle $I = ]-\infty ;1[$ par :
$$
   f(x) = {-2x^2+6x-3 \over 2(x-1)^2}
$$

On désigne par $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère 
orthonormé $(O,\vec \imath ,\vec \jmath \,)$ (unité graphique~: 2~cm
ou 2~grands carreaux).

\itemnum Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant \`
a $I$,
$$
   f(x) = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2}
$$

\itemitemalphnum Déterminer la limite de $f$ en $-\infty $.

\itemitemalph En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe $C$.

\itemitemalph Déterminer la limite de $f$ en $1$.

\itemitemalph En déduire l'équation d'une asymptote à la courbe $C$.

\itemitemalphnum Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et
montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme
$$
   f' (x) = {-x\over (x-1)^3}.
$$

\itemitemalph Dresser le tableau des variations de $f$.

\itemnum On désigne par $D$ l'asymptote de la courbe $C$ qui est 
parallèle à l'axe des abscisses. 

\itemitemalph Déterminer les coordonnées du point 
d'intersection de $C$ avec la droite $D$ 

\itemitemalph \' Etudier la position de la courbe $C$ par rapport à $D$.

\itemnum Tracer les asymptotes et la courbe $C$ dans le repère 
$(O,\vec \imath ,\vec \jmath \,)$. Placer en particulier les points d'abscisses 
$-2$, $-1$, $1/4$, $3/4$.

\finexo

\corrige {}

\itemnum Il suffit de réduire au même dénominateur l'expression
proposée. Il vient
$$\eqalign {
   f(x) &= -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2}
      = {-2(x-1)^2\over 2(x-1)^2} + {2(x-1)\over 2(x-1)^2} + {1\over 2(x-1)^2}
\cr
      &= {-2x^2 + 4x - 2 + 2x - 2 + 1\over 2 (x-1)^2}
\cr }
$$
d'où 
$$\dresultat {
   -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} 
      = f(x) 
      = {-2x^2+6x-3 \over 2(x-1)^2}   
}$$

\itemalphnum Pour la limite de $f$ en $-\infty $, on utilise la
première écriture. Il vient alors 
$$
\dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = -1} 
$$
puisque
$$
   f (x) = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2} 
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \lim _{x\to -\infty } (x-1) = -\infty 
   \cr
      \lim _{x\to -\infty } 1/(x-1) = 0
   \cr
      \lim _{x\to -\infty } 1/2(x-1)^2 = 0
   \cr }
$$

\itemalph On en déduit une \tresultat {asymptote horizontale
      d'équation $y = -1$}.

\itemalph Pour la limite de $f$ en $1$ (en fait en $1^-$ puisque l'on
se situe à gauche de $1$ dans l'intervalle $]-\infty ; 1[$), on utilise la
deuxième écriture. Il vient alors 
$$
\dresultat {\lim _{x\to 1^- } f (x) = +\infty } 
$$
puisque
$$
   f (x) = {-2x^2+6x-3 \over 2(x-1)^2}
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      \lim _{x\to 1} (-2x^2+6x-3) = 1
   \cr
      \lim _{x\to 1^-} 2(x-1)^2 = 0^+
   \cr }
$$

\itemalph On en déduit une \tresultat {asymptote verticale
      d'équation $x = 1$}.

\itemalphnum Utilisons l'écriture
$$
   f(x) = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2} \times {1\over (x-1)^2}.
$$
Il vient
$$
   f' (x) = {-1\over (x-1)^2} + {1\over 2} \times {-2\over (x-1)^3}
      =  {- (x-1)\over (x-1)^3} + {-1\over (x-1)^3}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = {-x\over (x-1)^3}}
$$

\itemalph Comme par hypothèse on a $x \in \, ]-\infty ;1[$, il vient
$$
   x < 1
      \qquad {\rm et \ donc} \qquad
   x-1<0
$$
donc $(x-1)^3$ topujours négatif sur l'intervalle considéré.
d'où le tableau de variation suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \halign {
   %% preamble
      & \hfil \ #\ \hfil 
   \cr
      $x$& \tv & $-\infty $&& $0$&& $1$
   \cr
   \noalign {\hrule height1 pt}
      $-x$& \tv && $+$&& $-$ &
   \cr
   \noalign {\hrule }
      $(x-1)^3$& \tv && $-$&& $-$ &
   \cr
   \noalign {\hrule height1 pt}
      $f' (x)$& \tv && $-$& $0$& $+$ & \hfill \doublevrule 
   \cr
   \noalign {\hrule height1 pt}
      \bbuucenter {$f (x)$}& \tv & \bbuup {$-1$}& $\bbrightddownarrow $ &\down
      {$-3/2$}&
      $\bbrightuuparrow $& \bbuup {$+\infty $} \hfill \doublevrule 
   \cr
}}   
}$$

\itemalphnum Chercher l'intersection de la droite $D$ avec la courbe
      $C_f$ revient à résoudre le système
$$
   \cases {
      y = -1
   \cr
      y = f (x)
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      y = -1
   \cr
      -1 = f (x)
   \cr }
$$
or la deuxième équation se résoud en
$$\eqalign {
   -1 = f (x)
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   -1 = -1 + {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   0 = {1\over x-1} + {1\over 2(x-1)^2}
\cr
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   0 = {2(x-1)\over 2(x-1)^2} + {1\over 2(x-1)^2}
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   0 = {2x+1\over 2(x-1)^2}
\cr
      \quad &\Longleftrightarrow \quad
   0 = 2x+1
\cr
}$$
d'où l'unique point d'intersection~: \dresultat {A \left( {3\over 2};
   -1\right) }

\itemalph \' Etudier les positions relatives de $C_f$ et $D$ revient à
étudier le signe de la différence $f (x) - (-1)$. En reprenant les
calculs précédents, on voit que
$$
   f (x) - (-1) = {2x+1\over 2(x-1)^2}
$$
qui est du signe de $(2x+1)$ puisque le dénominateur est un
carré. D'où le tableau récapitulatif suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \halign {
   %% preamble
      & \hfil \ #\ \hfil 
   \cr
      $x$& \tv & $-\infty $&& $-1/2$&& $1$
   \cr
   \noalign {\hrule height1 pt}
      $f (x) - (-1)$& \tv && $-$& $0$& $+$&
   \cr
   \noalign {\hrule height1 pt}
      & \tv && $C_f$ au dessous de $D$
      &\tv & $C_f$ au dessus de $D$
   \cr
}}   
}$$

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/term/sti/analyse/fonctions/}

\itemnum
$$
   \superboxepsillustrate {frct_011.ps}
$$

\fincorrige

 

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