Source de ds_racines_sujet2.tex
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}% utf8, sous linux
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp}
\usepackage{array}
\usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot}% Figures géométriques dans le code LaTeX
\usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante
\usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules
%\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main
\usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables
\usepackage{lmodern}% fonte modern
\usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes
\usepackage{ifthen}% pour faire des tests 'utile uniquement dans CalculPythagoreDirect'
\usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX
\rmfamily% importantion des petites capitales grasses
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête
\usepackage[frenchb]{babel}% francisation
\setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation
%
%#################################################################################
%########################### MES COMMANDES ###########################
%#################################################################################
%
%pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP
\def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}}
% mettre \def\nombrefr#1{\expandafter\nombre{\expandafter\changecomma{#1}}} pour avoir des séparations tous les 3 chiffres
\def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux}
\def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi}
\def\changecommapt#1.\changecommapt{#1}
% On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés
\newcommand*{\setenumeratedefaut}{
\setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}}
\setenumeratedefaut
\let\oldenumerate=\enumerate
\let\oldendenumerate=\endenumerate
%
%%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%%
\newenvironment{Questions}{%
\setenumerate{%
itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items
topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus
partopsep=0cm,%
parsep=0pt,%
leftmargin=*,% pas de marge gauche
align=left,% alignement des numéros à gauche
labelindent=0pt,% indentation du numéro
widest=8),% largeur du numéro
labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras
\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
%%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%%
\newenvironment{SousQuestions}{%
\setenumerate{
itemsep=0cm,% espacement vertical serré
topsep=0cm,% pas de séparation avec le haut
partopsep=0cm,%
parsep=0pt,%
leftmargin=*,%
align=left,% alignement des lettres à gauche
widest=b),% largeur maxi du numéro
labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte
itemindent=0em% indentation du texte
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
% Puces
\newcommand\Puces{\renewcommand\labelitemi{\hspace{0.8cm}{\textbullet}}}
%
% Affiche le "Nom prénom et classe"
\newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}}
%
% Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré
\newcommand{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}}
%
% Affiche la date en italique centré
\newcommand{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}}
%
% Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début
\newcommand{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}}
%
% Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables
\newcommand{\ligne}[5]{%
%#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après
\vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne
\rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne
\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation
\rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne
\vspace*{-#3}\vspace*{#5}% on remonte de la séparation et on met l'espace final
}
%
% Affiche le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine)
\newcommand{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6ptplus2ptminus2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0.5pt}}
%
% Affiche le texte puis une ligne fine
\newcommand{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4ptplus2ptminus2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}}
%
% Met en gras dans les formules math
\newcommand\gras[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}}
%
% Forme un angle
\newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{\mathit{#1}}}}
%
% Met des lettres qui se suivent en italique
\newcommand*{\Ita}[1]{\ensuremath{\mathit{#1}}}
%
% Insère une segment
\newcommand*{\Seg}[1]{\ensuremath{[\mathit{#1}]}}
%
% Insère une droite
\newcommand*{\Drt}[1]{\ensuremath{(\mathit{#1})}}
%##############################################################################################
%########################### MACROS POUR LES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE ###########################
%##############################################################################################
%
% _______________________________________________________________________
%| |
%| Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi}
%
% ______________________________________________
%| |
%| La réciproque du théorème de Thalès |
%| (les phrases de conclusion seulement) |
%|______________________________________________|
\newcommand*{\ThalesReciproquE}[5]{%
%les rapports #1#2/#1#3 et #1#4/#1#5 sont égaux --> réciproque de Thalès
On obtient l'égalité $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}$~, les points $\mathit{#1}$, $\mathit{#2}$, $\mathit{#3}$ et $\mathit{#1}$, $\mathit{#4}$, $\mathit{#5}$ sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \textbf{les droites $\gras{(\mathit{#2#4})}$ et $\gras{(\mathit{#3#5})}$ sont parallèles}.
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesReciproque}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesReciproquE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesReciproquE}}\makeatother
% _______________________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Thalès (les phrases préliminaires seulement) |
%| un cas pour la 4ème et un cas pour la 3ème |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\ThalesDirectTroiS}[5]{%
%#1:centre homothétie #1#2#3:alignés, #1#4#5: alignés et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct
Les droites $(\mathit{#2#3})$ et $(\mathit{#4#5})$ se coupent en $\mathit{#1}$, les droites $(\mathit{#2#4})$ et $(\mathit{#3#5})$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}=\MaFrac{\mathit{#2#4}}{\mathit{#3#5}}$%
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectTrois}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectTroiS}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectTroiS}}\makeatother
\newcommand*{\ThalesDirectQuatrE}[5]{%
%#1:centre homothétie #2 app [#1#3], #4 app [#1#5] et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct
Dans le triangle $\mathit{#1#3#5}$, le point $\mathit{#2}$ appartient à $\mathit{[#1#3]}$ et le point $\mathit{#4}$ appartient à $\mathit{[#1#5]}$, les droites $(\mathit{#2#4})$ et $(\mathit{#3#5})$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}=\MaFrac{\mathit{#2#4}}{\mathit{#3#5}}$%
}
\makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectQuatre}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectQuatrE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectQuatrE}}\makeatother
% _________________________________________________________________________________
%| |
%| Le calcul d'un produit en croix, avec choix de la précision pour le résultat |
%|_________________________________________________________________________________|
% #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 9)
%
% #3 x #4
% #2 = --------- = ResultatArrondi
% #5
\newcommand*{\CalculProduitCroiX}[5][9]{%
\FPeval{Resultat}{({#3}*{#4})/{#5}}%
\FPclip{\Resultat}{\Resultat}%
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}% on arrondi à [#1] chiffres après la virgule
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}%
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}% pour supprimer des zéros dans l'arrondi : 2.50 devient 2.5
$\mathit{#2}=\MaFrac{\nombrefr{#3}\times\nombrefr{#4}}{\nombrefr{#5}}\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}}$
}
\makeatletter\newcommand*{\CalculProduitCroix}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculProduitCroiX}{\def\MaFrac{\frac}\CalculProduitCroiX}}\makeatother
% _________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Thalès (les calculs seulement) |
%|_________________________________________________________|
% #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2)
%
% [1] [3]
% #2 = de 1 à 4 : position de la longueur à calculer dans ----- = -----
% [2] [4]
%% #7 = unité [cm par exemple]
\newcommand*{\CalculThalesDirecT}[7][2]{%
\def\OPa{\nombrefr}\def\OPb{\nombrefr}\def\OPc{\nombrefr}\def\OPd{\nombrefr}
\FPifeq{#2}{1}\def\OPa{\mathit}\def\Cherche{#3}\def\NUMa{#4}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#6}\fi%
\FPifeq{#2}{2}\def\OPb{\mathit}\def\Cherche{#4}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#6}\def\DEN{#5}\fi%
\FPifeq{#2}{3}\def\OPc{\mathit}\def\Cherche{#5}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#6}\def\DEN{#4}\fi%
\FPifeq{#2}{4}\def\OPd{\mathit}\def\Cherche{#6}\def\NUMa{#4}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#3}\fi
De l'égalité\hspace{1ex}$\MaFrac{\OPa{#3}}{\OPb{#4}}=\MaFrac{\OPc{#5}}{\OPd{#6}}$\hspace{1ex}on tire que\hspace{1ex}\CalculProduitCroiX[#1]{\Cherche}{\NUMa}{\NUMb}{\DEN}\textbf{#7}%on rajoute l'unité
}
\makeatletter\newcommand*{\CalculThalesDirect}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculThalesDirecT}{\def\MaFrac{\frac}\CalculThalesDirecT}}\makeatother
% ______________________________________________________
%| |
%| Macros utilisée dans les macros ci dessous |
%| renvoie l'argument n°#1 |
%|______________________________________________________|
\newcommand*{\RectangleEn}[4]{%
\ifthenelse{#1=1}
{#2}% #1=2, renvoie #2
{\ifthenelse{#1=2}
{#3}% #1=3, renvoie #3
{\ifthenelse{#1=3}
{#4}% #1=4, renvoie #4
{??}% #1 est autre chose, renvoie ??
}
}
}
% ___________________________________________________
%| |
%| La réciproque du théorème de Pythagore |
%| la conclusion sans calculs préliminaires |
%|___________________________________________________|
\newcommand*{\PythagoreReciproque}[4][2]{%
% [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à -dire la lettre du milieu)
On obtient l'égalité %
\ifthenelse{#1=1}{$\mathit{#3#4}^2=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#4}^2$}{\null}%
\ifthenelse{#1=2}{$\mathit{#2#4}^2=\mathit{#3#2}^2+\mathit{#3#4}^2$}{\null}%
\ifthenelse{#1=2}{$\mathit{#2#3}^2=\mathit{#4#2}^2+\mathit{#4#3}^2$}{\null}%
, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#2#3#4}}$ est rectangle en }$\gras{\mathit{\RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}}$.%
}
% __________________________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Pythagore (les phrases préliminaires seulement) |
%| * pour ne pas écrire l'égalité de Pythagore |
%|__________________________________________________________________________|
\newcommand*{\PythagoreDirecT}[4][2]{%
% [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à -dire la lettre du milieu)
Le triangle $\mathit{#2#3#4}$ est rectangle en $\mathit{\RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}$, donc d'après le théorème de Pythagore%
\ifthenelse{\AvecEq=1}
{\ifthenelse{#1=1}
{ : $\mathit{#3#4}^2=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#4}^2$}
{\ifthenelse{#1=2}
{ : $\mathit{#2#4}^2=\mathit{#3#2}^2+\mathit{#3#4}^2$}
{\ifthenelse{#1=3}
{ : $\mathit{#2#3}^2=\mathit{#4#2}^2+\mathit{#4#3}^2$}
{ : ??}
}
}
}
{ }
}
\makeatletter\newcommand*{\PythagoreDirect}{\@ifstar{\def\AvecEq{0}\PythagoreDirecT}{\def\AvecEq{1}\PythagoreDirecT}}\makeatother
% ___________________________________________________________
%| |
%| Le théorème de Pythagore complet (avec calculs) |
%|___________________________________________________________|
\newcommand*{\CalculPythagoreDirect}[9][2]{
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2 : position de la lettre où est l'angle droit (1 ; 3 ou 5)
% A4B5C6 : ABC : sommets
% 456 : longueurs dont celle que l'on cherche est vide ou vaut un .
% #9 : unité
Dans le triangle $\mathit{#3#5#7}$ rectangle en $\mathit{\RectangleEn{#2}{#3}{#5}{#7}}$, d'après le théorème de Pythagore :\smallskip
\ifthenelse{\equal{#2}{1}}% alors A est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq}
}
}
}
{\ifthenelse{\equal{#2}{3}}% alors B est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq}
}
}
}
{\ifthenelse{\equal{#2}{5}}% alors C est l'angle droit
{\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (hypo)
{\CalculHypo[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}}
{\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}%le côté cherché est AC (côté angle droit)
{\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}}
{Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq}
}
}
}
{L'argument \no2 doit valoir 1 ; 3 ou 5 !}
}
}
}
\newcommand*{\CalculHypo}[7][2]{%
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=hypoténuse 4=longueur BC 6=longeur CA
% #7 : unité (par exemple cm)
\FPmul{\BCcarre}{#4}{#4}
\FPmul{\ACcarre}{#6}{#6}
\FPadd{\SommeCarre}{\BCcarre}{\ACcarre}
\FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}
\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre}
\FProot{\Resultat}{\SommeCarre}{2}
\FPclip{\SommeCarre}{\SommeCarre}
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}
$\begin{aligned}
\mathit{#2#3}^2&=\mathit{#5#2}^2+\mathit{#5#3}^2\\
\mathit{#2#3}^2&={\nombrefr{#4}}^2+{\nombrefr{#6}}^2\\
\mathit{#2#3}^2&=\nombrefr{\BCcarre}+\nombrefr{\ACcarre}\\
\mathit{#2#3}^2&=\nombrefr{\SommeCarre}\\
\mathit{#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\SommeCarre}}\\
\mathit{#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
}
\newcommand*{\CalculCote}[7][2]{%
% #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2)
% #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=côté à calculer 4=longueur BC 6=longeur AC
% #7 : unité (par exemple cm)
\FPmul{\BCcarre}{#4}{#4}
\FPmul{\ACcarre}{#6}{#6}
\FPsub{\Difference}{\BCcarre}{\ACcarre}
\FPifpos{\Difference}\FPset{\Signe}{0}\else\FPset{\Signe}{1}\fi
\FPabs{\Difference}{\Difference}
\FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}
\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre}
\FProot{\Resultat}{\Difference}{2}
\FPclip{\Difference}{\Difference}
\FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}
\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}
\FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}
\FPifzero{\Signe}% #4>#6, l'hypoténuse est donc BC
$\begin{aligned}
\mathit{#3#5}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#5}^2\\
\nombrefr{#4}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\nombrefr{#6}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{#4}^2-\nombrefr{#6}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\BCcarre}-\nombrefr{\ACcarre}\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\Difference}\\
\mathit{#2#3} &=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\
\mathit{#2#3} &\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
\else% #6>#4, l'hypoténuse est donc AC
$\begin{aligned}
\mathit{#2#5}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#3#5}^2\\
\nombrefr{#6}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\nombrefr{#4}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{#6}^2-\nombrefr{#4}^2\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\ACcarre}-\nombrefr{\BCcarre}\\
\mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\Difference}\\
\mathit{#2#3} &=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\
\mathit{#2#3} &\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}}
\end{aligned}$
\fi
}
% __________________________________________________________________________
%| |
%| Le réciproque de théorème de Pythagore complète (avec calculs) |
%|__________________________________________________________________________|
\newcommand*{\CalculPythagoreReciproque}[6]{
\FPmax{\MaxiAB}{#2}{#4}
\FPmax{\MaxiBC}{#4}{#6}
\FPmax{\MaxiAC}{#2}{#6}
\FPifgt{#2}{\MaxiBC}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}{#1#3#5}\else\fi
\FPifgt{#4}{\MaxiAC}\EcritureReciproquePythagore{#3}{#4}{#5}{#6}{#1}{#2}{#1#3#5}\else\fi
\FPifgt{#6}{\MaxiAB}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#6}{#5}{#4}{#3}{#2}{#1#3#5}\else\fi
}
\newcommand*{\EcritureReciproquePythagore}[7]{%
% #1#3 : extrémités hypoténuse
% #2 : longueur hypoténuse
% #5 : sommet angle droit
% #4 et #6 : longueurs cotes angles droit
% #7 : nom du triangle (avec les lettres dans l'ordre)
%
% #1
% |\
% | \
% | \
% | \
% | \
% #6| \ #2
% | \
% | \
% |_ \
% |_|_______\
% #5 #4 #3
%
\FPmul{\HypoCarre}{#2}{#2}
\FPeval{\SommeCarre}{{#4}*{#4}+{#6}*{#6}}
\FPclip{\HypoCarreClip}{\HypoCarre}
\FPclip{\SommeCarreClip}{\SommeCarre}
$\begin{aligned}% on aligne les équations sur le signe =
\mathit{#1#3}^2 &={\nombrefr{#2}}^2 &=\nombrefr{\HypoCarreClip}\\
\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2 &={\nombrefr{#6}}^2+{\nombrefr{#4}}^2 &=\nombrefr{\SommeCarreClip}
\end{aligned}$\smallskip
\FPifeq{\HypoCarre}{\SommeCarre}% s'il y a égalité
On obtient l'égalité $\mathit{#1#3}^2=\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#7}}$ est rectangle en $\gras{\mathit{#5}}$}.
\else $\mathit{#1#3}^2\ne\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2$ : on n'obtient pas d'égalité. La réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée, et donc \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#7}}$ n'est pas rectangle}.
\fi
}
%########################################################################################
%########################### MACROS POUR LES DROITES GRADUÉES ###########################
%########################################################################################
% _________________________________________________
%| |
%| Marque un point sur la droite graduée |
%|_________________________________________________|
% #1 optionnel : épaisseur du point, par défaut 3.5pt
\newcommand*{\MarquePoint}[2][3.5]{\psdots[dotsize=#1pt 0](#2,0)}
% __________________________________________________________
%| |
%| Marque un trait vertical sur la droite graduée |
%|__________________________________________________________|
% #1 optionnel : hauteur du trait de part et d'autre de la droite. Par défaut 0.25cm
\newcommand*{\MarqueTrait}[2][0.25]{\psline[linewidth=1pt](#2,-#1)(#2,#1)}
% _________________________________________________________________
%| |
%| Affiche un texte à une abscisse et une hauteur donnée |
%|_________________________________________________________________|
\newcommand*{\AfficheTexte}[3]{%
%#1 : abscisse
%#2: decalage vertical (espace en cm entre le haut ou la bas de la lettre et la droite graduée)
%#3: texte
\FPifeq{#2}{0}\rput[c](#1,#2){#3}\fi% décalage nul bien qu'improbable, positionnement c[enter]
\FPifgt{#2}{0}\rput[b](#1,#2){#3}\fi% décalage positif, positionnement b[ottom]
\FPiflt{#2}{0}\rput[t](#1,#2){#3}\fi% décalage négatif, positionnement t[op]
}
% ________________________________________________________
%| |
%| Affiche une flèche verticale |
%| au dessus ou au dessous de la droite graduée |
%|________________________________________________________|
\newcommand*{\AfficheFleche}[3][\FPprint\HautGrad]{%
% #1 : décalage vertical entre bout de la flèche et la droite
% Par défaut=\HautGrad (hauteur des graduations principales)
% #2 : abscisse de la flèche
% #3 : hauteur de la flèche en cm (positif:flèche au dessus, négatif:flèche au dessous)
\FPifeq{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{0}\fi
\FPifgt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{1}\fi
\FPiflt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{-1}\fi
\FPabs\Loin{#3}
\FPabs\Pres{#1}
\FPeval{Loin}{Pres+Loin}
\FPeval{Pres}{Pres*PlusMoinsUn}
\FPeval{Loin}{Loin*PlusMoinsUn}
\psline[arrowsize=2pt 3]{->}(#2,\FPprint\Loin)(#2,\FPprint\Pres)
}
% ________________________________________________________
%| |
%| Affiche une flèche verticale et un texte |
%| au dessus ou au dessous de la droite graduée |
%|________________________________________________________|
\newcommand*{\TexteEtFleche}[4][\FPprint\HautGrad]{%
% #1 : décalage vertical entre bout de la flèche et la droite.
% Par défaut=\HautGrad (hauteur des graduations principales)
% #2 : abscisse de la flèche
% #3 : hauteur de la flèche en cm (positif:flèche au dessus, négatif:flèche au dessous)
% #4 : texte à afficher
\FPifeq{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{0}\fi
\FPifgt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{1}\fi
\FPiflt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{-1}\fi
\FPabs\Loin{#3}
\FPabs\Pres{#1}
\FPeval{Loin}{Pres+Loin}
\FPeval{DecalTexte}{(Loin+0.1)*PlusMoinsUn}% 0.1cm = séparation entre le début de la flèche et le texte
\FPeval{Pres}{Pres*PlusMoinsUn}
\FPeval{Loin}{Loin*PlusMoinsUn}
\psline[arrowsize=2pt 3]{->}(#2,\FPprint\Loin)(#2,\FPprint\Pres)
\AfficheTexte{#2}{\FPprint\DecalTexte}{#4}
}
% ___________________________________________
%| |
%| ENVIRONNEMENT DroiteGraduée |
%| Trace une droite gradué |
%|___________________________________________|
\newenvironment{DroiteGraduee}[8][all]{%
% Les arguments de l'environnement
% #1 : affichage des nombres, par défaut all (none est le contraire)
\FPset{Largeur}{#2}% #2 : largeur totale de la droite en cm
\FPset{Debut}{#3}% #3 : abscisse de la 1ère graduation
\FPset{Fin}{#4}% #4 : abscisse de la dernière graduation
\FPset{SousDiv}{#5}% #5 : Nombre d'intervalles sudivisant la graduation principale
\FPset{Increment}{#6}% #6 : Incrément entre 2 graduations principales
\FPset{DepassGauche}{#7}% #7 : Nombre de graduations principales à afficher avant la 1ère
\FPset{DepassDroite}{#8}% #8 : Nombre de graduations principales à afficher après la dernière
%
% Les constantes
\FPset{HautGrad}{0.15}% La hauteur en cm du trait de la graduation principale
\FPset{HautSousGrad}{0.7}% Le coefficient de réduction pour la hauteur du trait des graduations secondaires
\FPset{EpGrad}{1.5}% Epaisseur en pt de la graduation principale
\FPset{EpSousGrad}{0.8}% Epaisseur en pt de la graduation secondaire
%
% Calcul des abscisses et de l'unité d'axe
\FPeval{xGauche}{Debut-DepassGauche}% valeur de l'abscisse du début du tracé de la droite
\FPeval{xDroit}{Fin+DepassDroite}% valeur de l'abscisse de fin du tracé de la droite
\FPeval{xUnite}{(Largeur-0.6)/(xDroit-xGauche)}%valeur de l'unité d'axe (0.6cm en moins=largeur de la flèche)
\FPeval{xDroit}{xDroit+0.6/xUnite}% on corrige de la largeur de la flèche
%
% Tracé de la droite
\psset{xunit=\FPprint\xUnite cm,yunit=1cm,arrowsize=4pt 3}%
\begin{pspicture}(\FPprint\xGauche,-1)(\FPprint\xDroit,1)%
% tracé de la droite graduée
\psaxes[comma,% séparateur décimal
% labelFontSize=\small,
labelsep=5pt,% hauteur de séparation entre l'axe et nombres
labels=#1,% on affiche les nombres ?
Ox=\FPprint\Debut,% l'abscisse de la 1ère graduation
Dx=\FPprint\Increment,% nombre incrémenté entre 2 graduations
yAxis=false,% pas d'axe vertical
subticks=\FPprint\SousDiv,% nombre d'intervalles divisant la graduation principale
ticksize=-\FPprint\HautGrad cm \FPprint\HautGrad cm,% taille verticale des graduations principales
tickwidth=\FPprint\EpGrad pt,% épaisseur des graduations principales
subticksize=\FPprint\HautSousGrad,% coeff multiplicateur pour la hauteur des graduations secondaires
subtickwidth=\FPprint\EpSousGrad pt,% épaisseur des graduations secondaires
subtickcolor=black% couleur des graduations secondaires
]{->}% style de flèche
(\FPprint\Debut,0)% coordonnées l'origine de la droite
(\FPprint\xGauche,-1)% coordonnées du coin bas gauche (ordonnée à modifier ? --> à voir)
(\FPprint\xDroit,1)% coordonnées du coin haut droit (ordonnée à modifier ? --> à voir)
}
{\end{pspicture}}
% ___________________________________________________
%| |
%| Représentation graphique de l'ensemble |
%| des solutions d'une inéquation du 1è degrés |
%|___________________________________________________|
\newcommand*{\Crochet}[1]{% affiche un gros crochet
% #1 > 0 : crochet vers la droite [
% #1 < 0 : crochet vers la gauche ]
\FPifpos{#1}\LARGE\textbf{[}\else\LARGE\textbf{]}\fi
}
\newcommand*{\GraphiqueInequation}[5][0]{%repasse en gras avant ou après la solution et met le crochet et un point éventuellement
% #1 : optionnel = 0 par défaut (pas de hachure)
% #1 = H : on tace des hachures
% #2 = G : repasse à gauche de la borne
% #2 = D : repasse à droite de l'origine
% #3 = C : origine comprise
% #3 = NC : origine non comprise
% #4 : nombre à afficher au dessus de la borne
% #5 : largeur de la représentation
\def\Erreur{0}
\FPdiv{\xMaxi}{#5}{2}
\FPneg{\xMini}{\xMaxi}
\psset{unit=1 cm,arrowsize=4pt 3}
\begin{pspicture}(\FPprint\xMini,-0.5)(\FPprint\xMaxi,1)
\FPset{DecalCrochet}{0.07}
\FPset{DecalOrigine}{0.07}
\FPeval{\EpFleche}{0.2}% largeur de la flèche en cm
\ifthenelse{\equal{#2}{D} \or \equal{#2}{d} \or \equal{#2}{-inf}}
{\FPset{Signe}{1}}
{\ifthenelse{\equal{#2}{G} \or \equal{#2}{g} \or \equal{#2}{+inf}}
{\FPset{Signe}{-1}}
{\def\Erreur{1}}
}
\FPneg{\SigneOpp}{\Signe}
\ifthenelse{\equal{#3}{C} \or \equal{#3}{c}}
{%
\MarquePoint[5]{0}% on met un point
\FPset{xOrigine}{0}
\FPmul{\xCrochet}{\DecalCrochet}{\SigneOpp}
\rput[c](\xCrochet,0){\Crochet{\Signe}}
}
{%
\ifthenelse{\equal{#3}{NC} \or \equal{#3}{nc}}
{
\MarqueTrait[0.15]{0}% on met un trait
\FPset{xOrigine}{DecalOrigine}
\FPmul{\xCrochet}{\DecalCrochet}{\Signe}
\rput[c](\xCrochet,0){\Crochet{\SigneOpp}}
}
{ \def\Erreur{1}
}
}
\ifthenelse{\Erreur=0}
{%
\psline[linewidth=1pt]{->}(\FPprint\xMini,0)(\FPprint\xMaxi,0)
\FPmul{\xExtremeHachures}{\xMaxi}{\SigneOpp}
\FPmul{\xExtreme}{\xMaxi}{\Signe}
\ifthenelse{\equal{#2}{D} \or \equal{#2}{d}}
{\FPsub{\xExtreme}{\xExtreme}{\EpFleche}}
{\FPeval{xExtremeHachures}{xExtremeHachures-2*EpFleche}}
\FPmul{\xOrigine}{\xOrigine}{\Signe}
\psline[linewidth=2.5pt](\FPprint\xExtreme,0)(\FPprint\xOrigine,0)% on repasse en gras
\ifthenelse{\equal{#1}{H} \or \equal{#1}{h}}
{\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines, hatchwidth=0.5pt, hatchsep=3pt](\FPprint\xCrochet,-0.15)(\FPprint\xExtremeHachures,0.15)}
{}
\AfficheTexte{0}{0.4}{#4}
}
{Erreur dans les paramètres de\\ \texttt{\textbackslash GraphiqueInequation}}
\end{pspicture}
}
\author{BriCÃ MatH}
\title{Devoir surveillé 3ème : racines carrées, et applications à Pythagore et Thalès}
\date{21/11/2007}
\begin{document}
\titre{Devoir surveillé \no3}
\DoubleLigne{\ladate{3\ieme C -- Le mercredi 21/11/2007}}
\ladate{\textbf{Calculatrice interdite}}
\exo{Exercice 1.}
\begin{Questions}
\item
Développer et réduire ces nombres de façon à obtenir l'écriture la plus simple possible :
\begin{flalign*}
a&=\left(\sqrt{6}-1\right)^2-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2&
b&=\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-1\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt{6}+2\right)&
c&=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{10}-1\right)
\end{flalign*}
\item
Calculer ce nombre et donner le résultat sous la forme la plus simple :
\begin{center}
$d=\dfrac{\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{6}}{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}}$
\end{center}
\end{Questions}
\exo{Exercice 2.}
\parbox{10cm}{
La figure ci-contre n’est pas à l'échelle et n'est représentée en vraie grandeur. Elle ne sert qu'à indiquer la disposition des points de cet exercice.\medskip
La figure n'est pas à reproduire.\bigskip
On donne les longueurs suivantes en cm :\smallskip
\Puces
\begin{itemize}
\item $\text{\textit{KR}}=\sqrt{2}$
\item $\text{\textit{KL}}=2$
\item $\text{\textit{KS}}=\sqrt{6}$
\item $\text{\textit{KM}}=2\sqrt{3}$
\end{itemize}
\bigskip}
\parbox{7cm}{
\psset{unit=1.0cm}
\begin{pspicture}(0,0)(7,5)
\pspolygon(3.26,4.32)(1.39,2.86)(5.38,1.62)
\pspolygon(0.48,2.14)(6.41,0.3)(5.38,1.62)(1.39,2.86)
\rput[bl](3.34,4.44){$K$}
\rput[bl](0.22,1.76){$L$}
\rput[bl](6.6,0.14){$M$}
\rput[bl](1.06,3.02){$R$}
\rput[bl](5.54,1.82){$S$}
\end{pspicture}}
\begin{Questions}
\item Montrer que les droites (\textit{RS}) et (\textit{LM}) sont parallèles.
\item On donne $\text{\textit{RS}}=2\sqrt{2}\text{ cm}$.
Calculer la longueur \textit{LM}.
\item On donne les valeurs approchées des côtés du triangle \textit{KRS} :\medskip
\Puces
\begin{itemize}
\item $\text{\textit{KR}}=\sqrt{2}\simeq1,41\text{ cm}$
\item $\text{\textit{KS}}=\sqrt{6}\simeq2,45\text{ cm}$
\item $\text{\textit{RS}}=2\sqrt{2}\simeq2,83\text{ cm}$
\end{itemize}
\medskip
\begin{SousQuestions}
\item Le triangle \textit{KRS} est-il rectangle ? Justifier.
\item Calculer l'aire du triangle \textit{KRS}, et donner le résultat sous la forme $\sqrt{a}$ où $a$ est un entier.
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\exo{Exercice 3.}
Montrer par le calcul que ces nombres sont égaux :
\hspace{1cm}$a=\sqrt{98}+7\sqrt{2}-3\sqrt{32}$\hfill$b=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{\sqrt{2}+1}$\hfill$c=\sqrt{\dfrac{2}{35}}\times2\sqrt{15}\times\sqrt{\dfrac{7}{3}}$\hspace{1cm}
\exo{Exercice 4.}
Soit l'expression littérale $E=(4x-7)^2-(4x-7)(3x-8)$
\begin{Questions}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer la valeur de $E$ lorsque :\smallskip
\begin{SousQuestions}
\item $x=\sqrt{3}$.
\item $x=-2$
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\exo{Pour chercher\ldots}
Calculer l'inverse de ce nombre : $5\sqrt{2}-7$.
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% CORRECTION %%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\DoubleLigne{\titre{Correction du devoir surveillé \no4}}
\exo{Exercice 1.}
\begin{multicols}{2}
\begin{Questions}
\item
$
a=\left(\sqrt{6}-1\right)^2-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2\\
a=\left(\sqrt{6}\right)^2-2\sqrt{6}+1-\left(\left(\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{6}+\left(\sqrt{3}\right)^2\right)\\
a=6-\cancel{2\sqrt{6}}+1-2+\cancel{2\sqrt{6}}-3\\
\gras{a=2}
$
\medskip
$
b=\sqrt{2}\left(\sqrt{6}-1\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt{6}+2\right)\\
b=\sqrt{12}-\sqrt{2}-\sqrt{18}+2\sqrt{3}\\
b=\sqrt{4}\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{9}\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\
b=\cancel{2\sqrt{3}}-\sqrt{2}-3\sqrt{2}-\cancel{2\sqrt{3}}\\
\gras{b=-4\sqrt{2}}$
\columnbreak
$
c=\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{10}-1\right)\\
c=\sqrt{50}-\sqrt{5}-\sqrt{20}+\sqrt{2}\\
c=\sqrt{25}\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{4}\sqrt{5}+\sqrt{2}\\
c=5\sqrt{2}-\sqrt{5}-2\sqrt{5}+\sqrt{2}\\
\gras{c=6\sqrt{2}-3\sqrt{5}}
$
\item
$
d=\dfrac{\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{6}}{\dfrac{2}{3}+\dfrac{5}{6}}=\dfrac{\dfrac{\cancel{2}}{3}\times\dfrac{5}{\cancel{2}\times3}}{\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}}\\
d=\dfrac{5}{9}\div\dfrac{9}{6}=\dfrac{5}{9}\times\dfrac{6}{9}=\dfrac{5}{9}\times\dfrac{\cancel{3}\times2}{\cancel{3}\times3}=\gras{\dfrac{10}{27}}
$
\end{Questions}
\end{multicols}
\exo{Exercice 2.}
\begin{Questions}
\item $
\dfrac{\text{\textit{KR}}}{\text{\textit{KL}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{3cm}\dfrac{\text{\textit{KS}}}{\text{\textit{KM}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}\cancel{\sqrt{3}}}{2\cancel{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
\ThalesReciproque*{K}{R}{L}{S}{M}
\item \ThalesDirectTrois*{K}{R}{L}{S}{M} donc $\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\text{\textit{LM}}}$ ce qui donne $\text{\textit{LM}}=\dfrac{2\times2\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}}=\gras{4\text{ cm}}$
\item \begin{SousQuestions}
\item Le plus long côté du triangle \textit{KRS} est [\textit{RS}] :
$\text{\textit{RS}}^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2=4\left(\sqrt{2}\right)^2=8\hspace{3cm}\text{\textit{KR}}^2+\text{\textit{KS}}^2=\left( \sqrt{2} \right)^2+\left( \sqrt{6} \right)^2=2+6=8$
\PythagoreReciproque{R}{S}{K}
\item
L'aire du triangle KRS est : $A_{KRS}=\dfrac{KR \times KS}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\times\sqrt{6}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\times\sqrt{2}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\cancel{\left(\sqrt{2} \right)^2}\times\sqrt{3}}{\cancel{2}}=\gras{\sqrt{3}\text{ cm}^2}$
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\exo{Exercice 3.}
\begin{multicols}{3}
$
a=\sqrt{98}+7\sqrt{2}-3\sqrt{32}\\
a=\sqrt{49}\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{16}\sqrt{2}\\
a=7\sqrt{2}+7\sqrt{2}-12\sqrt{2}\\
\gras{a=2\sqrt{2}}
$
\columnbreak
$
b=\dfrac{2\sqrt{2}+4}{\sqrt{2}+1}\\
b=\dfrac{(2\sqrt{2}+4)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}\\
b=\dfrac{2(\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4}{(\sqrt{2})^2-1^2}\\
b=\cancel{4}-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-\cancel{4}\\
\gras{b=2\sqrt{2}}
$
\columnbreak
$
c=\sqrt{\dfrac{2}{35}}\times2\sqrt{15}\times\sqrt{\dfrac{7}{3}}\\
c=\dfrac{\sqrt{2}}{\cancel{\sqrt{7}}\times\cancel{\sqrt{5}}}\times2\cancel{\sqrt{3}}\cancel{\sqrt{5}}\times\dfrac{\cancel{\sqrt{7}}}{\cancel{\sqrt{3}}}\\
\gras{c=2\sqrt{2}}
$
\end{multicols}
\begin{center}
$a$, $b$ et $c$ sont tous égaux à $2\sqrt{2}$, on a bien $\gras{a=b=c}$.
\end{center}
\exo{Exercice 4.}
\begin{multicols}{2}
\begin{Questions}
\item $
E=(4x-7)^2-(4x-7)(3x-8)\\
E=16x^2-56x+49-(12x^2-32x-21x+56)\\
E=16x^2-56x+49-12x^2+32x+21x-56\\
\gras{E=4x^2-3x-7}
$
\item $
E=(4x-7)(4x-7)-(4x-7)(3x-8)\\
E=(4x-7)[(4x-7)-(3x-8)]\\
E=(4x-7)(4x-7-3x+8)\\
\gras{E=(4x-7)(x+1)}
$
\end{Questions}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\begin{Questions}[resume]
\item
\begin{SousQuestions}
\item $E=4\times(\sqrt{3})^2-3\sqrt{3}-7=12-3\sqrt{3}-7\\
\gras{E=5-3\sqrt{3}}$
\item $E=4\times(-2)^2-3\times(-2)-7=16+6-7\\
\gras{E=15}$
\end{SousQuestions}
\end{Questions}
\end{multicols}
\exo{Pour chercher\ldots}
L'inverse de $5\sqrt{2}-7$ est :
$\dfrac{1}{5\sqrt{2}-7}=\dfrac{1}{5\sqrt{2}-7}\times\dfrac{5\sqrt{2}+7}{5\sqrt{2
}+7}=\dfrac{5\sqrt{2}+7}{25(\sqrt{2})^2-7^2}=\dfrac{5\sqrt{2}+7}{1}=\gras{5\sqrt
{2}+7}$
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 3 décembre 2007 (0.09s - 3952974 - 10 janvier 2009)
