Source de 1sc_deriv.tex
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\begin{document}
\titre{Dérivation}{$1$\up{ere}S}
\fcours{Analyse}
\section{Limite réelle d'une fonction en zéro}
\subsection{Exemple}
\noindent La fonction $g~: x \longmapsto \frac{2(1+x)^{2}-2}{x}$ est définie
sur $\R \backslash \{0\}$ ; $g(0)$ n'existe pas mais $g(x)$ est
calculable pour toutes les valeurs de $x$ très voisines de zéro.\\
On se pose alors la question suivante~: \\
"Que deviennent les nombres
$g(x)$ lorsque $x$ prend des valeurs très voisines de zéro".\\
Répondre à cette question, c'est {\bf étudier la limite en zéro de}
$\mathbf{g}$.\\
Ici, pour répondre à cette question, on procède à une habile réécriture
de $g(x)$~: en effet pour tout $x$ non nul,
$g(x)=\frac{2(1+x)^{2}-2}{x}=4+2x$. \\
Intuitivement on peut alors
préssentir que lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus voisines de zéro,
les nombres $g(x)$ viennent s'accumuler autour de $4$. \\
{\bf Plus précisément}, on peut prouver que les nombres $g(x)$
finissent par se trouver dans tout intervalle
$I=\into{4-\alpha}{4+\alpha}$, {\bf aussi petit que soit}
$\mathbf{\alpha}$ ($\alpha > 0$). \\
En effet si $\alpha >0$, dire que
$4-\alpha < g(x) < 4+\alpha$ équivaut à dire que $4-\alpha < 4+2x <
4+\alpha$ soit $-\frac{\alpha}{2}< x <\frac{\alpha}{2}$. Ainsi,
quel que soit $\alpha >0$, les nombres $g(x)$ se trouvent dans $I$
lorsque $-\frac{\alpha}{2}< x <\frac{\alpha}{2}$. On écrit alors
$$
\lim_{x \to 0} g(x) = 4
$$
\subsection{Cas général}
\noindent $f$ est une fonction définie sur $\mathcal{D}_{f}$ telle que $0$
appartient à $\mathcal{D}_{f}$ ou en est une borne.\\
{\bf Intuitivement}, dire que la fonction $f$ {\bf a pour
limite le nombre} $l$ {\bf en zéro}, signifie que lorsque $x$
prend des valeurs de plus en plus voisines de zéro, les nombres $f(x)$
correspondants viennent s'accumuler autour de $l$. {\bf Plus
précisément} cela signifie qu'ils finissent par se trouver dans tout
intervalle $\into{l -\alpha}{l+\alpha}$, aussi petit que soit $\alpha
>0$. On écrit alors~: $$\lim_{x \to 0} f(x)=l.$$\\
\noindent {\bf Remarques}~:
\begin{itemize}
\item Lorsque la variable est $u$ on écrit $\lim_{u \to 0}
f(u)=l$. Lorsque la variable est $h$ et la fonction est $t$ on
écrit \linebreak[4] $\lim_{h \to 0}~t(h)=l$.
\item Il existe des fonctions qui n'ont pas de limite réelle en
zéro~: c'est le cas de la fonction inverse$\ldots$ intuitivement,
si $x$ prend des valeurs de plus en plus voisines de $0$ (par
exemple $10^{-10}$ ; $-10^{-100}$ ; $10^{-1000}$ ; $-10^{-10000}$)
alors les valeurs absolues des nombres $f(x)$ correspondants
($10^{-10}$ ; $10^{-100}$ ; $10^{-1000}$ ; $10^{-10000}$) sont de
plus en plus grandes vers l'infini. Ces nombres ne peuvent donc pas
s'accumuler autour d'un réel.
\end{itemize}
\subsection{Résultats à connaître}
Cette année, les calculs de limite s'obtiendront avec d'habiles
réécritures des expressions et "des arguments très proches de
l'intuition" qui sont en fait justifiés par les résulats suivants que
nous admettrons~:
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x \to 0} \sqrt{x}=0$ ; $\lim_{x \to 0} x^{2} = 0$ ;
$\lim_{x \to 0} x^n=0$ ($n \in \N ^{*}$).\\
Si $P$ est une fonction polynôme, $\lim_{x \to 0} P(x)=P(0)$ et si
$F$ est une fonction rationnelle définie en $0$, $\lim_{x \to 0}
F(x)=F(0)$.
\item Si $P$ est une fonction polynôme et $F$ une fonction
rationnelle, définies et positives au voisinage de $0$, alors $\lim_{x
\to 0}\sqrt{P(x)}=\sqrt{P(0)}$ et $\lim_{x
\to 0}\sqrt{F(x)}=\sqrt{F(0)}$.
\item Si $\lim_{x \to 0} f(x)=l$ et $\lim_{x \to 0} g(x)=l'$
alors
$\lim_{x \to 0} (f+g)(x)~=~l+l'$ et $\lim_{x \to 0} (fg)(x)~=~ll'$.
\end{enumerate}
\exo{}
Justifiez à l'aide des résultats précédents les calculs de limites
suivants~:
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x \to 0} f(x)$ où $f(x)=-2x+3$;
\item $\lim_{x \to 0} g(x)$ où $g(x)=2x \sqrt{2x+5}$;
\item $\lim_{h \to 0} t(h)$ où $t(h)=\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}$ et $a$
un réel quelconque.
\end{enumerate}
\section{Nombre dérivé}
\subsection{Approche}
Traitez les exercices page $58-59$ de votre manuel.
\begin{enumerate}
\item Synthèse de l'activité $1$~:\\
Calculer une vitesse moyenne entre deux instants très très
proche n'est pas satisfaisant pour obtenir une vitesse
instantanée. La seule façon d'obtenir celle-ci est de considérer
la limite en zéro d'une fonction du type $h \longmapsto
\frac{d(a+h)-d(a)}{h}$.
\item Synthèse de l'activité $2$~:\\
Sur la courbe de la fonction carré $f$, nous avons fixé un point~: le
point $A(1,f(1))$. Puis nous nous sommes demandés comment définir ce qui correspond
à l'idée intuitive que l'on
se fait d'une tangente à cette courbe au point $A$. Pour cela nous avons pris un point
"courant" sur cette courbe~: le point $M$ distinct du point $A$ puis nous
nous sommes intéressés au comportement des sécantes $(AM)$ lorsque le point $M$ prend des
valeurs de plus en plus voisines de $A$.\\
Pour tout point $M$, la sécante $(AM)$ passe par $A$ donc pour
connaître le comportement de ces sécantes l'idée est d'étudier les
coefficients directeurs de ces sécantes lorsque le point $M$ prend des
valeurs de plus en plus voisines de $A$.\\
Pour cela nous avons posé $1+h$ l'abscisse de $M$~: puisqu'il est
distinct de $A$, $h\not= 0$ et, puisque'il est sur la courbe son
ordonnée est $f(1+h)$. Il en résulte que le coefficient directeur,
que l'on note $t(h)$,de la sécante $(AM)$, vaut
$t(h)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=2+h$. Enfin dire que $M$ prend des
valeurs de plus en plus voisines de $A$ c'est dire que $h$ prend des
valeurs de plus en plus voisines de zéro, d'où l'idée d'étudier la
limite en zéro de la fonction $h \longmapsto t(h)$. Comme $\lim_{h \to
0} t(h)=2$ on conçoit que la droite $\Delta$ qui passe par $A$ et de
coefficient directeur $2$ est la "position limite" des sécantes
$(AM)$ lorsque le point $M$ prend des valeurs de plus en plus voisines
de $A$. De plus lorsque l'on regarde la figure cette "position limite"
répond à
l'idée que l'on se fait de la tangente à la courbe au
point $A$~: on la définira comme cela$\ldots$
Ainsi pour répondre à un problème de tangente à une courbe nous
avons étudié une limite en zéro d'une fonction du type $h \longmapsto
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
\end{enumerate}
\subsection{Définitions}
Nous avons vu, dans la section approche, pour résoudre des
problèmes de vitesse instantanée ou de tangente, la nécessité de
s'intéresser au problème suivant~:\\
$f$ est une fonction définie sur $\mathcal{D}_{f}$ et $a$ est un
nombre de $\mathcal{D}_{f}$. A tout réel $h$ non nul, tel que $a+h$ est dans
$\mathcal{D}_{f}$, on peut associer le nombre
$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
La fonction $h~\longmapsto~t(h)$ a-t-elle une limite en zéro~?
\begin{definition}
Dans les conditions précédentes~:\\
Dire que la fonction $f$ {\bf est dérivable au point} $a$
signifie que la fonction $h~\longmapsto~\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet
une limite réelle $l$ en zéro.\\
Cette limite $l$ est appelée {\bf le nombre dérivé} de $f$ au
point $a$. On le note $f'(a)$.
\end{definition}
\noindent {\bf Remarques}~:
\begin{itemize}
\item Le nombre $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est appelé {\bf taux de
variation} de $f$ entre $a$ et $a+h$. En général, on le note $t(h)$.
Il est défini lorsque $h$ est non nul et tel que $a+h$ soit dans
$\mathcal{D}_{f}$. Lorsque que l'on écrira un taux de variation il
sera implicite que ces deux conditions sont remplies.
\item Lorsque $f$ est dérivable au point a, le nombre dérivé, $l$, de
$f$ au point $a$ est noté $f'(a)$ donc dans ces conditions~:
$$
f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
$$
\end{itemize}
\section{Applications de la dérivation en point}
Désormais, toute fonction considérée est définie sur un intervalle ou
une réunion d'intervalles deux à deux disjoints.
\subsection{Tangente à une courbe}
\noindent {\bf Interprétation géométrique du nombre dérivé
\footnote{Le nombre dérivé a aussi une interprétation cinématique~:
il correspond, dans ce cadre, à la vitesse instantanée à l'instant $a$
d'un mobile dont la loi horaire sur sa trajectoire serait donnée
par $f$}} \\
\parbox[c]{10cm}{
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe d'une fonction $f$ qui est dérivable
au point $a$. $A$ est le point de $\mathcal{C}_{f}$ de coordonnées
$(a;f(a))$\\
Notons $M$ le point de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $a+h$, $h \not=
0$.\\
Alors le taux de variation $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est le coefficient
directeur de la sécante $(AM)$. \\
Comme $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$, la droite $T$, qui passe par $A$ et de
coefficient directeur $f'(a)$, se conçoit comme "la position limite"
des sécantes $(AM)$ lorsque $M$ se rapproche de $A$ en restant sur la
courbe. Cette droite $T$ correspond alors à l'idéee intuitive que l'on se fait
d'une tangente à une courbe. On pose alors la définition suivante~:
}
\parbox[c]{8cm}{
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_deriv.1}
\end{center}
}
\begin{definition}
$\mathcal{C}_{f}$ est la courbe d'une fonction $f$ qui est dérivable
au point $a$.\\
La {\bf tangente à} $\mathcal{C}_{f}$ {\bf au point} $A(a;f(a))$ est
la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est
$f'(a)$.
\end{definition}
\begin{propriete}
Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A(a;f(a))$
est~:
$$
y=f'(a)(x-a)+f(a)
$$
\end{propriete}
\ifpreuve
\begin{preuve}
En effet, cette tangente a pour coefficient directeur $f'(a)$, elle
a donc une équation réduite qui s'écrit $y=f'(a)x+p$. Comme elle
passe par $A$ alors $f(a)=f'(a)a+p$ donc $p=f(a)-f'(a)a$, d'où le
résultat.
\end{preuve}
\fi
\noindent{\bf Remarque~}: Cette tangente représente donc la fonction
affine $x~\longmapsto f'(a)(x-a)+f(a)$.
\subsection{Approximation affine locale}
%\parbox[c]{10cm}{
% }
%\parbox[c]{8cm}{
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fig1sc_deriv.3}
\includegraphics[scale=0.8]{fig1sc_deriv.2}
\end{center}
% }
\noindent $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe d'une fonction $f$ qui est dérivable
au point $a$ et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point
$A(a;f(a))$.\\
Comme la tangente "semble" proche de la courbe autour du point $A$,
on pense à {\bf remplacer} $\mathcal{C}_{f}$ {\bf par} $T$ {\bf autour
de} $A$.\\
Autrement dit, on {\bf remplace localement la fonction} $f$ {\bf par la
fonction affine représentée par} $T$, c'est-à-dire qu'on remplace le réel
$f(x)$ par le réel $f'(a)(x-a)+f(a)$ pour $x$ voisin de $a$ ou encore,
en écrivant $x=a+h$, le réel $f(a+h)$ par le réel $f'(a)h+f(a)$ pour $h$ voisin de
$0$. C'est en général cette dernière écriture que l'on retient.\\
Une autre droite passant par $A$ fournirait une autre approximation
affine mais on admettra que celle fournie par la tangente est la
"meilleure" (notion à définir puis preuve à établir$\ldots$) des
approximations affines.\\
On dit alors que $f'(a)h+f(a)$ {\bf est l'approximation affine locale de}
$f(a+h)$.\\
\noindent{\bf Remarque~}: Ces approximations affines sont utiles pour
simplifier les calculs (cf exos).\\
Ces approximations affines ne sont en fait qu'une petite partie d'une
théorie mathématique qui consiste à remplacer localement les
fonctions usuelles par des polynômes et à majorer l'erreur commise.
\section{Fonctions dérivées des fonctions usuelles}
\subsection{Fonction dérivée}
\begin{definition}
$f$ est une fonction définie sur $\mathcal{D}_{f}$ et $\mathcal{D}$
désigne un intervalle ou une réunion d'intervalles inclus dans
$\mathcal{D}_{f}$.
On dit que $f$ est dérivable sur $\mathcal{D}$ si elle est dérivable
en tout point de $\mathcal{D}$.\\
Alors la fonction qui à tout $x$ de $\mathcal{D}$ associe $f'(x)$, le
nombre dérivé de $f$ en $x$, est appelée la {\bf fonction dérivée}
de $f$ sur $\mathcal{D}$. On la note $f'$.
\end{definition}
\noindent{\bf Exemple~}: La fonction $f~: x \longmapsto x^{2}$ est
dérivable en tout point $a$ de $\R$ et $f'(a)=2a$. Donc $f$ est
dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée est la fonction définie
sur $\R$ par $f'~: x \longmapsto 2x$. \\
\noindent{\bf Remarque~}: La connaissance de $f'$ permet un calcul
rapide du nombre dérivé en un point particulier et, ainsi, d'éviter
d'avoir recours à un calcul de limite en zéro d'un taux de
variation.\\
Ainsi, la fonction $f$ précédente qui est dérivable sur $\R$ est donc
dérivable en $-8$ et $f'(-8)=2\times (-8)=-16$.
\subsection{Fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles}
\begin{theoreme}
Toute fonction affine $f~: x \longmapsto mx+p$ est dérivable sur
$\R$ et sa fonction dérivée est $f'~: x \longmapsto m$.
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
$t(h)=\frac{m(a+h)+p-ma-p}{h}=m$. Donc $\lim_{h \to 0} t(h)=m$. Ceci
est vrai pour tout $a$ de $\R$ d'où le résultat.
\end{preuve}
\fi
\noindent{\bf Remarque~}: En particulier cette formule s'applique à
la fonction identité dont la dérivée est $f'~: x \longmapsto 1$
et à toute fonction constante dont la dérivée est la fonction nulle.
\begin{theoreme}
La fonction $f~: x \longmapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur
$\into{0}{+\infty}$ et sa fonction dérivée est $f'~: x \longmapsto
\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
Quel que soit $a>0$,
$t(h)=\frac{\sqrt{a+h}-\sqrt{a}}{h}=\frac{1}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}}$.\\
Mais d'après les opérations sur les limites $\lim_{h \to 0}
\sqrt{a+h}+\sqrt{a}=2 \sqrt{a}$ donc $\lim_{h \to 0}
t(h)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$. Ceci est vrai pour tout $a>0$ d'où le
résultat.
\end{preuve}
\fi
\noindent{\bf Remarque~}:
\begin{enumerate}
\item La fonction racine carrée (comme la fonction valeur absolue), bien que définie en zéro, n'est pas
dérivable en zéro~: cf manuel page $65$. Cet exemple prouve que
l'ensemble de dérivabilité n'est pas nécessairement égal à
l'ensemble de définition.
\item Bien que la fonction racine carrée ne soit pas dérivable en zéro,
sa courbe admet malgré tout une tangente au point d'abscisse $0$~:
cf manuel page $65$.
\end{enumerate}
\begin{theoreme}(admis)
\begin{enumerate}
\item La fonction sinus est dérivable sur $\R$ et pour tout $x$
de $\R$, $sin'(x)=cos x$.
\item La fonction cosinus est dérivable sur $\R$ et pour tout $x$
de $\R$, $cos'(x)=-sin x$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\section{Opérations sur les fonctions dérivables}
% \noindent $\mathcal{D}$ désigne un intervalle ou une réunion
% d'intervalles.
\subsection{Dérivée d'une somme}
\begin{theoreme}
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $\mathcal{D}$. Alors $u+v$ est
une fonction dérivable sur $\mathcal{D}$ et~:
$$
(u+v)'=u'+v'
$$
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
$t(h)=\frac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\frac{u(a+h)+v(a+h)-u(a)-v(a)}{h}$
donc $t(h)=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}+\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$.\\
Posons $t_{1}(h)=\frac{u(a+h)-u(a)}{h}$ et $t_{2}(h)=\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$.
Comme $u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathcal{D}$ alors en tout point $a$ de
$\mathcal{D}$, $\lim_{h \to 0}
t_{1}(h)=u'(a)$ et $\lim_{h \to 0} t_{2}(h)=v'(a)$. Il en résulte par
opérations sur les limites que $\lim_{h \to 0} t(h)=u'(a)+v'(a)$.
Ceci est vrai pour tout $a$ de $\mathcal{D}$ d'où le résultat.
\end{preuve}
\fi
\subsection{Dérivée d'un produit}
\begin{theoreme} \hfill
\begin{enumerate}
\item $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $\mathcal{D}$. Alors $uv$ est
une fonction dérivable sur $\mathcal{D}$ et~:
$$
(uv)'=u'v+uv'
$$
\item En particulier, si $\lambda$ est un réel,
$(\lambda v)'=\lambda v'$
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
\begin{enumerate}
\item $t(h)=\frac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}=\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}=
\frac{u(a+h)-u(a)}{h}v(a+h)+\frac{v(a+h)-v(a)}{h}u(a)$.\\
Donc, avec les notations de la preuve précédente,
$t(h)=t_{1}(h)v(a+h)+t_{2}(h)u(a)$.\\
Il reste à étudier la limite de cette expression lorsque $h$ tend
vers zéro~:\\
Comme $t_{2}(h)=\frac{v(a+h)-v(a)}{h}$ alors
$v(a+h)=ht_{2}(h)+v(a)$.\\
Mais $v$ est dérivable sur $\mathcal{D}$ alors \footnote{même si cela peut paraître
évident ce n'est pas vrai pout toutes les fonctions~: cf manuel
page $67$} en tout point $a$ de
$\mathcal{D}$,
$\lim_{h \to 0} v(a+h)=v(a)$ \\
Il en résulte, puisque $u$ est aussi dérivable sur $\mathcal{D}$,
qu'en tout point $a$ de $\mathcal{D}$, $\lim_{h \to 0} t(h)= u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$.\\
Ceci est vrai pour tout $a$ de $\mathcal{D}$ d'où le résultat.
\item Il suffit d'appliquer ce qui précède avec $u~: x
\longmapsto \lambda$.
\end{enumerate}
\end{preuve}
\fi
\subsection{Dérivée d'une fonction polynôme}
\begin{theoreme}(admis~: cf manuel page $66$)
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n \geq 1$, la fonction
$x~\longmapsto x^n$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée
est $x~\longmapsto nx^{n-1}$
\item Toute fonction polynôme $x \longmapsto \sum_{k=0}^{n}
a_{k}x^k$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée est $x \longmapsto
\sum_{k=1}^{n} a_{k}x^{k-1}$
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\subsection{Dérivée de l'inverse d'une fonction}
\begin{theoreme}
$v$ est une fonction dérivable sur $\mathcal{D}$ et pour tout réel $a$
de $\mathcal{D}$, $v(a) \not=0$. Alors $\frac{1}{v}$ est
une fonction dérivable sur $\mathcal{D}$ et~:
$$
\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^{2}}
$$
\end{theoreme}
\ifpreuve
\begin{preuve}
$a$ est un point de $\mathcal{D}$. $v$ est dérivable sur
$\mathcal{D}$ donc (cf preuve précédente) $\lim_{h \to 0} v(a+h)=v(a)$.\\
Ainsi, les nombres $v(a+h)$ et $v(a)$ sont de plus en plus voisins
lorsque $h$ est de plus en plus voisin de zéro. Puisque $v(a) \not=
0$, les nombres $v(a+h)$ sont aussi non nuls pour des valeurs de $h$ très
voisines de zéro. Ainsi le taux de variation de $\frac{1}{v}$ entre $a+h$ et $a$
est bien défini pour ces valeurs de $h$ et~:\\
$t(h)=\frac{1}{h}\left[\frac{1}{v(a+h)}-\frac{1}{v(a)}\right]=
-\frac{1}{v(a+h)v(a)}\left[\frac{v(a+h)-v(a)}{h}\right]$. \\
Comme $v$ est dérivable sur $\mathcal{D}$, pour tout point $a$ de
$\mathcal{D}$, \linebreak[4] $\lim_{h\to 0}
\frac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$. Il en résulte que $\lim_{h\to
0}t(h)=-\frac{1}{v(a)v(a)}v'(a)=-\frac{v'(a)}{(v(a))^{2}}$. D'où le
résultat puisque ceci est vrai pour tout point $a$ de $\mathcal{D}$.
\end{preuve}
\fi
\begin{theoreme}
Pour tout entier naturel $n \geq 1$, la fonction $x~\longmapsto
\frac{1}{x^n}$ est dérivable sur $\R - \{0\}$ et sa fonction dérivée
est $x~\longmapsto -\frac{n}{x^{n+1}}$.
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Quel que soit l'entier naturel $n \geq 1$, notons $f=\frac{1}{v}$ où
$f~:x \longmapsto x^n$. Il est clair que $v(x)=0$ équivaut à $x=0$ et $f$ est
dérivable sur $\R$ (déjà vu) donc sur $\R - \{0\}$. Alors d'après le théorème
précédent $f$ est dérivable sur $\R - \{0\}$ et pour tout $x \in \R -
\{0\}$,
$$
f'(x)=-\frac{v'(x)}{(v(x))^{2}}=-\frac{nx^{n-1}}{x^{2n}}=-\frac{n}{x^{n+1}}
$$
ceci est vrai pour tout entier naturel $n \geq 1$ d'où le résultat.
\end{preuve}
\noindent {\bf Remarque}~: Avec ce qui a déjà été dit on peut affirmer
que la dérivée de $x~\longmapsto x^n$ avec $n \in \Z ^{*}$ est
toujours $x~\longmapsto nx^{n-1}$ mais cette formule est valable
seulement pour $x \not= 0$ lorsque $n < 0$.
\subsection{Dérivée d'un quotient}
\begin{theoreme}
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $\mathcal{D}$, et pour
tout réel $a$ de $\mathcal{D}$, $v(a)\not= 0$. Alors $\frac{u}{v}$ est
une fonction dérivable sur $\mathcal{D}$ et~:
$$
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}
$$
\end{theoreme}
\begin{preuve}
Il suffit d'écrire $\frac{u}{v}=u \times \frac{1}{v}$ et d'appliquer
les théorèmes de dérivation de l'inverse d'une fonction et d'un produit.
\end{preuve}
\subsection{Dérivée de $x~\longmapsto u(ax+b)$}
\begin{theoreme}(admis)
$u$ est une fonction dérivable sur $\mathcal{D}$, $a$ et $b$ sont
deux réels. $J$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $ax+b$ soit
dans $\mathcal{D}$. Alors la fonction $f~: x~\longmapsto u(ax+b)$ est dérivable
sur $J$ et pour tout réel $x$ de $J$~:
$$
f'(x)=au'(ax+b)
$$
\end{theoreme}
\noindent {\bf Remarque}~: Ce théorème est utile pour dériver la
composée d'une fonction affine avec la fonction racine carrée ou la
fonction cosinus ou la fonction sinus~: cf manuel page $69$.
\subsection{Tableaux récapitulatifs}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\parbox[b]{5cm}{\hfil $f$ est définie sur $I$ \hfil
\hfil $f(x)=\ldots$ \hfil} & \parbox[b]{5cm}{\hfil $f'$ est définie sur $J$ \hfil
\hfil $f'(x)=\ldots$ \hfil} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{
$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=mx+p$
Cas particuliers~:
$I=\mathbb{R}$
$f(x)=p$
$I=\mathbb{R}$
$f(x)=x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=m$
Cas particuliers~:
$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=0$
$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=1$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=x^{2}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=2x$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=[0;+\infty[$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\sqrt{x}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=]0+\infty[$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=x^{3}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=3x^{2}$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}\backslash \{ 0 \}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\frac{1}{x}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}\backslash \{ 0 \}$
$f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ \raisebox{-1ex}{\phantom{p}}} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\vert x \vert$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}\backslash \{ 0
\}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f'(x)=
\left\lbrace
\begin{array}{l }
f'(x)=1 \textnormal{ si } x > 0 \\
f'(x)=-1 \textnormal{ si } x < 0
\end{array}
\right.
$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=x^{n}$ avec $n \in \mathbb{Z}^{*} \backslash \{1\}$}& \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=nx^{n-1}$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\cos x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=-\sin x$} \\
\hline
\parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}}
$f(x)=\sin x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$
$f'(x)=\cos x $} \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\parbox[b]{2cm}{Fonction} & $u+v$ & $uv$ & $ku$ ($k$ constante) &
\raisebox{-2ex}{\phantom{p}} $\frac{1}{v}$ \raisebox{2ex}{\phantom{l}}
& $\frac{u}{v}$ & $u(ax+b)$\\
\hline
\raisebox{-2ex}{\phantom{p}} \parbox[c]{2cm}{Fonction dérivée}
\raisebox{2ex}{\phantom{l}}
& $u'+v'$ & $u'v+uv'$ & $ku'$ &
$\frac{-v'}{v^{2}}$ & $\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ & $au'(ax+b)$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 6 février 2003 (0.08s - 3623847 - 10 octobre 2008)
