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\let\frac\dfrac
\Titre{Développements limités}
\large
Il est possible d'utiliser \textbf{PARI/GP} pour calculer des
\emph{développements limités}, voire des \emph{développements
généralisés} au voisinage de \(0\). Le programme se comporte
différemment suivant que l'expression est rationnelle ou pas.
L'ordre du développement est par défaut égal à \(16\). Il peut être
modifié en utilisant le raccourci \verb|\ps n| où \verb|n| est l'ordre
du développement que l'on souhaite utiliser.
%@Commande-1
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| \ps 11|}
\verb| seriesprecision = 11 significant terms|
Commençons avec un polynôme.
%@Commande-2
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| (1-2*x+3*x^2)^3|}
{\magenta\%1 = $\blue 27\*x^6
- 54\*x^5
+ 63\*x^4
- 44\*x^3
+ 21\*x^2
- 6\*x
+ 1$}
Le polynôme est écrit suivant les \emph{puissances décroissantes}, cela
ne correspond pas à l'écriture habituelle des développements limités.
%@Commande-3
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| taylor((1-2*x+3*x^2)^3,x)|}
{\magenta\%2 = $\blue 1
- 6\*x
+ 21\*x^2
- 44\*x^3
+ 63\*x^4
- 54\*x^5
+ 27\*x^6+ O(x^{11})$}
C'est maintenant rangé dans le bon ordre et le \emph{grand O}
caractéristique apparaît, bien qu'il soit nul dans le cas présent.
%@Commande-4
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/(1+x)|}
{\magenta\%3 = $\blue \frac{1}{x
+ 1}$}
C'est bien une fraction rationnelle...
%@Commande-5
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| taylor(1/(1+x),x)|}
{\magenta\%4 = $\blue 1
- x
+ x^2
- x^3
+ x^4
- x^5
+ x^6
- x^7
+ x^8
- x^9
+ x^{10}+ O(x^{11})$}
Son développement limité est bien connu....
%@Commande-6
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| sin(x)|}
{\magenta\%5 = $\blue x
- \frac{1}{6}\*x^3
+ \frac{1}{120}\*x^5
- \frac{1}{5040}\*x^7
+ \frac{1}{362880}\*x^9
- \frac{1}{39916800}\*x^{11}+ O(x^{12})$}
Pour une fonction non rationnelle (\emph{transcendante}), il n'est pas
nécessaire d'invoquer \verb|taylor| pour obtenir le développement, ce
qui nous en dit beaucoup sur la représentation interne des fonctions par
\textbf{PARI/GP}.
%@Commande-7
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| tan(x)|}
{\magenta\%6 = $\blue x
+ \frac{1}{3}\*x^3
+ \frac{2}{15}\*x^5
+ \frac{17}{315}\*x^7
+ \frac{62}{2835}\*x^9
+ \frac{1382}{155925}\*x^{11}+ O(x^{12})$}
%@Commande-8
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| \ps 7|}
\verb| seriesprecision = 7 significant terms|
%@Commande-9
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| sqrt(1+x)|}
{\magenta\%7 = $\blue 1
+ \frac{1}{2}\*x
- \frac{1}{8}\*x^2
+ \frac{1}{16}\*x^3
- \frac{5}{128}\*x^4
+ \frac{7}{256}\*x^5
- \frac{21}{1024}\*x^6+ O(x^7)$}
%@Commande-10
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| sqrtn(1+x,3)|}
{\magenta\%8 = $\blue 1
+ \frac{1}{3}\*x
- \frac{1}{9}\*x^2
+ \frac{5}{81}\*x^3
- \frac{10}{243}\*x^4
+ \frac{22}{729}\*x^5
- \frac{154}{6561}\*x^6+ O(x^7)$}
\texttt{sqrtn(x,n)} est la racine \(n\)-ième de \(x\), \textit{i.e.}
\(\sqrt[n]{x}\).
\newpage
%@Commande-11
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/(exp(x)-1)|}
{\magenta\%9 = $\blue x^{-1}
- \frac{1}{2}
+ \frac{1}{12}\*x
- \frac{1}{720}\*x^3
+ \frac{1}{30240}\*x^5+ O(x^6)$}
\textbf{PARI/GP} donne donc des développements généralisés en \(0\),
notons au passage la disparition d'un ordre dans le calcul précédent.
%@Commande-12
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/(cos(x)-1)|}
{\magenta\%10 = $\blue -2\*x^{-2}
- \frac{1}{6}
- \frac{1}{120}\*x^2
- \frac{1}{3024}\*x^4+ O(x^5)$}
%@Commande-13
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/sin(x)-1/sinh(x)|}
{\magenta\%11 = $\blue \frac{1}{3}\*x
+ \frac{31}{7560}\*x^5+ O(x^6)$}
%@Commande-14
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| log(sin(x))|}
\verb| *** log: log is not meromorphic at 0.|
Il y a bien sûr des limites à tout cela...
— Syracuse — Dernière modification : 23 juillet 2007 (0.08s - 3479314 - 7 septembre 2008)
